Apresentar, detalhadamente, os 8 passos que estudamos em aula, para definir o comportamento do gráfico da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar o gráfico da função $ f(x) = \frac{-2x^{2}}{x+1} $. Isso faz parte da matéria de cálculo, especialmente quando estudamos funções racionais. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender conceitos como domínio, assíntotas, interceptos, intervalos de crescimento e decrescimento, e a concavidade do gráfico. Vamos seguir 8 passos pra entender tudinho!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ que a função está definida. Como temos uma fração, o denominador não pode ser zero porque divisão por zero não existe. Então, igualamos o denominador a zero e resolvemos:
Então, o domínio é todos os números reais menos $ x = -1 $.
Passo 3
Agora, vamos achar as interceptações com os eixos. Primeiro, a interceptação com o eixo $ y $ ocorre quando $ x = 0 $:
Então, a interceptação com o eixo $ y $ está no ponto $ (0, 0) $.
Para a interceptação com o eixo $ x $, procuramos os valores de $ x $ onde $ f(x) = 0 $:
Então, a interceptação com o eixo $ x $ também é no ponto $ (0, 0) $.
Passo 4
Vamos identificar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador é zero, mas o numerador não é zero naquele ponto. Já vimos que $ x = -1 $ torna o denominador zero. Vamos ver o numerador em $ x = -1 $:
Então, há uma assíntota vertical em $ x = -1 $.
Passo 5
Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais ou oblíquas. Para funções racionais, comparamos os graus do numerador e do denominador. O numerador $ -2x^{2} $ é de grau 2 e o denominador $ x + 1 $ é de grau 1. Como o grau do numerador é maior que o do denominador, há uma assíntota oblíqua.
Para encontrar a equação da assíntota oblíqua, fazemos a divisão polinomial:
Então, a assíntota oblíqua é $ y = -2x + 2 $.
Passo 6
Vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Para isso, calculamos a derivada de $ f(x) $:
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Analisando o sinal de $ f’(x) $:
- O denominador $ (x + 1)^{2} $ é sempre positivo, exceto em $ x = -1 $ onde não está definido.
- O numerador $ -2x(x + 2) $ muda de sinal dependendo de $ x $.
Então:
- Para $ x < -2 $: $ x $ e $ x + 2 $ são negativos, então $ -2x(x + 2) $ é negativo, indicando que $ f(x) $ está decrescendo.
- Para $ -2 < x < 0 $: $ x $ é negativo e $ x + 2 $ é positivo, então $ -2x(x + 2) $ é positivo, indicando que $ f(x) $ está crescendo.
- Para $ x > 0 $: $ x $ e $ x + 2 $ são positivos, então $ -2x(x + 2) $ é negativo, indicando que $ f(x) $ está decrescendo.
Passo 7
Vamos analisar a concavidade da função, ou seja, onde ela é côncava para cima ou para baixo. Para isso, calculamos a segunda derivada $ f’’(x) $:
Começando com $ f’(x) = \frac{-2x(x + 2)}{(x + 1)^{2}} $:
Aplicamos a regra do quociente novamente:
Simplificando:
Analisando o sinal de $ f’’(x) $:
- Para $ x \neq -1 $:
O sinal depende do denominador:
- Se $ x + 1 > 0 $ (ou seja, $ x > -1 $), $ f’’(x) $ é negativo.
- Se $ x + 1 < 0 $ (ou seja, $ x < -1 $), $ f’’(x) $ é positivo.
Então:
- Para $ x < -1 $: $ f(x) $ é côncava para cima.
- Para $ x > -1 $: $ f(x) $ é côncava para baixo.
Passo 8
Por último, vamos resumir tudo e esboçar o gráfico com base nas informações obtidas:
- Domínio: $ \mathbb{R} $ menos $ x = -1 $.
- Interceptos: Ponto $ (0, 0) $.
- Assíntoto vertical: $ x = -1 $.
- Assíntota oblíqua: $ y = -2x + 2 $.
- Crescimento:
- Decresce em $ x < -2 $ e $ x > 0 $.
- Cresce entre $ -2 < x < 0 $.
- Concavidade:
- Côncava para cima em $ x < -1 $.
- Côncava para baixo em $ x > -1 $.
Com todas essas informações, conseguimos desenhar um gráfico que mostra como a função se comporta, seguindo as assíntotas, os intervalos de crescimento e decrescimento, e a concavidade.
Resposta
Depois de analisar todos os aspectos, o gráfico da função $ f(x) = \frac{-2x^{2}}{x+1} $ possui uma interceptação no ponto $ (0, 0) $, uma assíntota vertical em $ x = -1 $ e uma assíntota oblíqua definida por $ y = -2x + 2 $. A função está decrescendo nos intervalos $ x < -2 $ e $ x > 0 $, crescendo entre $ -2 < x < 0 $, e é côncava para cima quando $ x < -1 $ e côncava para baixo quando $ x > -1 $. Com essas características, dá pra esboçar o gráfico mostrando todo esse comportamento.