Apresentar, detalhadamente, os 8 passos que estudamos em aula, para definir o comportamento do gráfico da função
f(x)=-2 x^2x+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar o gráfico da função $ f(x) = \frac{-2x^{2}}{x+1} $. Isso faz parte da matéria de cálculo, especialmente quando estudamos funções racionais. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender conceitos como domínio, assíntotas, interceptos, intervalos de crescimento e decrescimento, e a concavidade do gráfico. Vamos seguir 8 passos pra entender tudinho!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ que a função está definida. Como temos uma fração, o denominador não pode ser zero porque divisão por zero não existe. Então, igualamos o denominador a zero e resolvemos:
x
Então, o domínio é todos os números reais menos $ x = -1 $.

Passo 3

Agora, vamos achar as interceptações com os eixos. Primeiro, a interceptação com o eixo $ y $ ocorre quando $ x = 0 $:
y
Então, a interceptação com o eixo $ y $ está no ponto $ (0, 0) $.
Para a interceptação com o eixo $ x $, procuramos os valores de $ x $ onde $ f(x) = 0 $:
x = 0
Então, a interceptação com o eixo $ x $ também é no ponto $ (0, 0) $.

Passo 4

Vamos identificar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador é zero, mas o numerador não é zero naquele ponto. Já vimos que $ x = -1 $ torna o denominador zero. Vamos ver o numerador em $ x = -1 $:
x = -1
Então, há uma assíntota vertical em $ x = -1 $.

Passo 5

Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais ou oblíquas. Para funções racionais, comparamos os graus do numerador e do denominador. O numerador $ -2x^{2} $ é de grau 2 e o denominador $ x + 1 $ é de grau 1. Como o grau do numerador é maior que o do denominador, há uma assíntota oblíqua.
Para encontrar a equação da assíntota oblíqua, fazemos a divisão polinomial:
-2x^2
Então, a assíntota oblíqua é $ y = -2x + 2 $.

Passo 6

Vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Para isso, calculamos a derivada de $ f(x) $:
f(x)
Usamos a regra do quociente:
f(x) = -2x^2x + 1
Simplificando:
f'(x) = (-4x)(x + 1) - (-2x^2)(1)(x + 1)^2 = -4x(x + 1) + 2x^2(x + 1)^2 = -4x^2 - 4x + 2x^2(x + 1)^2 = -2x^2 -4x(x + 1)^2
Analisando o sinal de $ f’(x) $:
  • O denominador $ (x + 1)^{2} $ é sempre positivo, exceto em $ x = -1 $ onde não está definido.
  • O numerador $ -2x(x + 2) $ muda de sinal dependendo de $ x $.
Então:
  • Para $ x < -2 $: $ x $ e $ x + 2 $ são negativos, então $ -2x(x + 2) $ é negativo, indicando que $ f(x) $ está decrescendo.
  • Para $ -2 < x < 0 $: $ x $ é negativo e $ x + 2 $ é positivo, então $ -2x(x + 2) $ é positivo, indicando que $ f(x) $ está crescendo.
  • Para $ x > 0 $: $ x $ e $ x + 2 $ são positivos, então $ -2x(x + 2) $ é negativo, indicando que $ f(x) $ está decrescendo.

Passo 7

Vamos analisar a concavidade da função, ou seja, onde ela é côncava para cima ou para baixo. Para isso, calculamos a segunda derivada $ f’’(x) $:
Começando com $ f’(x) = \frac{-2x(x + 2)}{(x + 1)^{2}} $:
Aplicamos a regra do quociente novamente:
f''(x)
Simplificando:
f'(x) = -2x(x + 2)(x + 1)^2
f''(x) = [-2(x + 2) + (-2x)(1)](x + 1)^2 - (-2x(x + 2))(2)(x + 1)(x + 1)^4
f''(x) = [-2x -4 -2x](x + 1)^2 + 4x(x + 2)(x + 1)(x + 1)^4
= [-4x -4](x + 1)^2 + 4x(x + 2)(x + 1)(x + 1)^4
= (-4x -4)(x + 1) + 4x(x + 2)(x + 1)^3
= -4x(x + 1) -4(x + 1) + 4x(x + 2)(x + 1)^3
Analisando o sinal de $ f’’(x) $:
  • Para $ x \neq -1 $:
= -4x^2 -4x -4x -4 + 4x^2 +8x(x + 1)^3
O sinal depende do denominador:
  • Se $ x + 1 > 0 $ (ou seja, $ x > -1 $), $ f’’(x) $ é negativo.
  • Se $ x + 1 < 0 $ (ou seja, $ x < -1 $), $ f’’(x) $ é positivo.
Então:
  • Para $ x < -1 $: $ f(x) $ é côncava para cima.
  • Para $ x > -1 $: $ f(x) $ é côncava para baixo.

Passo 8

Por último, vamos resumir tudo e esboçar o gráfico com base nas informações obtidas:
  • Domínio: $ \mathbb{R} $ menos $ x = -1 $.
  • Interceptos: Ponto $ (0, 0) $.
  • Assíntoto vertical: $ x = -1 $.
  • Assíntota oblíqua: $ y = -2x + 2 $.
  • Crescimento:
    • Decresce em $ x < -2 $ e $ x > 0 $.
    • Cresce entre $ -2 < x < 0 $.
  • Concavidade:
    • Côncava para cima em $ x < -1 $.
    • Côncava para baixo em $ x > -1 $.
Com todas essas informações, conseguimos desenhar um gráfico que mostra como a função se comporta, seguindo as assíntotas, os intervalos de crescimento e decrescimento, e a concavidade.

Resposta

Depois de analisar todos os aspectos, o gráfico da função $ f(x) = \frac{-2x^{2}}{x+1} $ possui uma interceptação no ponto $ (0, 0) $, uma assíntota vertical em $ x = -1 $ e uma assíntota oblíqua definida por $ y = -2x + 2 $. A função está decrescendo nos intervalos $ x < -2 $ e $ x > 0 $, crescendo entre $ -2 < x < 0 $, e é côncava para cima quando $ x < -1 $ e côncava para baixo quando $ x > -1 $. Com essas características, dá pra esboçar o gráfico mostrando todo esse comportamento.

Exercícios relacionados