Encontre: os intervalos nos quais
é crescente, decrescente, côncava para cima, côncava para baixo, as coordenadas
de todos os pontos de inflexão e seus extremos relativos.
Passo 1
O enunciado pede pra gente estudar a função f(x) = (x – 3)e^x e descobrir onde ela cresce, decresce, onde é côncava pra cima, côncava pra baixo, os pontos de inflexão e os extremos relativos. Vamos precisar usar derivadas: a primeira pra monotonicidade e a segunda pra concavidade.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada primeira. Como f(x) = (x – 3)e^x é produto, aplicamos a regra do produto: derivada de (x – 3) é 1, então
Para achar os pontos críticos, igualamos f’(x)=0. Como e^x>0 sempre, sobra x-2=0, ou seja x=2.
Passo 3
Agora, analisamos o sinal de f’(x) = (x-2)e^x. Como e^x>0, o sinal depende de x-2. Se x<2, f’(x)<0 (decresce). Se x>2, f’(x)>0 (cresce). Logo:
– f é decrescente em (-∞, 2)
– f é crescente em (2, ∞).
No ponto x=2 temos mudança de decrescente pra crescente, configurando um mínimo relativo.
– f é decrescente em (-∞, 2)
– f é crescente em (2, ∞).
No ponto x=2 temos mudança de decrescente pra crescente, configurando um mínimo relativo.
Passo 4
Depois, vamos à derivada segunda pra concavidade. Derivando f’(x)=(x-2)e^x de novo:
Igualando f’’(x)=0 dá x-1=0, isto é x=1, que é candidato a ponto de inflexão.
Passo 5
Para concavidade usamos o sinal de f’’(x). Como e^x>0, f’’(x)>0 quando x-1>0 (concava pra cima) e f’’(x)<0 quando x-1<0 (côncava pra baixo). Assim:
– côncava pra baixo em (-∞, 1)
– côncava pra cima em (1, ∞).
Em x=1 a concavidade troca, então é ponto de inflexão. A coordenada é
– côncava pra baixo em (-∞, 1)
– côncava pra cima em (1, ∞).
Em x=1 a concavidade troca, então é ponto de inflexão. A coordenada é
Passo 6
Faltam só as coordenadas do extremo em x=2. Calculando f(2):
Como a derivada segunda em x=2 vale f’’(2)=(2-1)e2=e2>0, confirmamos que é mínimo relativo.
Passo 7
Com isso temos tudo o que o enunciado pediu: monotonicidade, concavidade, ponto de inflexão e mínimo relativo.
Resposta
f é crescente em (2, ∞) e decrescente em (−∞, 2); côncava para cima em (1, ∞) e côncava para baixo em (−∞, 1); ponto de inflexão em (1, −2e); mínimo relativo em (2, −e^2); não há máximos relativos.