Encontre: os intervalos nos quais f é crescente, decrescente, côncava para cima, côncava para baixo, as coordenadas x de todos os pontos de inflexão e seus extremos relativos.
f(x)=(x-3) e^x

Passo 1

O enunciado pede pra gente estudar a função f(x) = (x – 3)e^x e descobrir onde ela cresce, decresce, onde é côncava pra cima, côncava pra baixo, os pontos de inflexão e os extremos relativos. Vamos precisar usar derivadas: a primeira pra monotonicidade e a segunda pra concavidade.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada primeira. Como f(x) = (x – 3)e^x é produto, aplicamos a regra do produto: derivada de (x – 3) é 1, então
f'(x) = 1cdot e^x + (x-3)cdot e^x = (x-2)e^x
Para achar os pontos críticos, igualamos f’(x)=0. Como e^x>0 sempre, sobra x-2=0, ou seja x=2.

Passo 3

Agora, analisamos o sinal de f’(x) = (x-2)e^x. Como e^x>0, o sinal depende de x-2. Se x<2, f’(x)<0 (decresce). Se x>2, f’(x)>0 (cresce). Logo:
– f é decrescente em (-∞, 2)
– f é crescente em (2, ∞).
No ponto x=2 temos mudança de decrescente pra crescente, configurando um mínimo relativo.

Passo 4

Depois, vamos à derivada segunda pra concavidade. Derivando f’(x)=(x-2)e^x de novo:
f''(x) = 1cdot e^x + (x-2)cdot e^x = (x-1)e^x
Igualando f’’(x)=0 dá x-1=0, isto é x=1, que é candidato a ponto de inflexão.

Passo 5

Para concavidade usamos o sinal de f’’(x). Como e^x>0, f’’(x)>0 quando x-1>0 (concava pra cima) e f’’(x)<0 quando x-1<0 (côncava pra baixo). Assim:
– côncava pra baixo em (-∞, 1)
– côncava pra cima em (1, ∞).
Em x=1 a concavidade troca, então é ponto de inflexão. A coordenada é
f(1) = (1-3)e^1 = -2e

Passo 6

Faltam só as coordenadas do extremo em x=2. Calculando f(2):
f(2) = (2-3)e^2 = -e^2
Como a derivada segunda em x=2 vale f’’(2)=(2-1)e2=e2>0, confirmamos que é mínimo relativo.

Passo 7

Com isso temos tudo o que o enunciado pediu: monotonicidade, concavidade, ponto de inflexão e mínimo relativo.

Resposta

f é crescente em (2, ∞) e decrescente em (−∞, 2); côncava para cima em (1, ∞) e côncava para baixo em (−∞, 1); ponto de inflexão em (1, −2e); mínimo relativo em (2, −e^2); não há máximos relativos.

Exercícios relacionados