Apresentar, detalhadamente, os 8 passos que estudamos em aula, para definir o comportamento do gráfico da função
f(x)=-3 x^4+8 x^3-6 x^2-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai analisar o comportamento do gráfico da função $ f(x) = -3x^{4} + 8x^{3} - 6x^{2} - 2 $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo como derivadas para encontrar máximos, mínimos, pontos de inflexão, além de analisar intervalos de crescimento e decrescimento. Vamos dividir isso em 8 passos para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. Como é um polinômio, ele está definido para todos os números reais. Ou seja, $ domínio = \mathbb{R} $.

Passo 3

Agora, vamos achar os limites da função quando $ x $ tende a mais e menos infinito. Isso ajuda a entender o comportamento das extremidades do gráfico.
Para $ x \to +\infty $:
x
Para $ x \to -\infty $:
x to +infty
Então, nos dois extremos, o gráfico vai para $ -\infty $.

Passo 4

Vamos calcular a primeira derivada para encontrar os pontos críticos, ou seja, onde a função pode ter máximos ou mínimos.
f'(x) = ddx(-3x^4 + 8x^3 - 6x^2 - 2) = -12x^3 + 24x^2 - 12x

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar onde a primeira derivada é zero ou não existe. Esses pontos são candidatos a máximos ou mínimos.
-12x^3 + 24x^2 - 12x = 0 -12x(x^2 - 2x + 1) = 0 -12x(x - 1)^2 = 0
Então, os pontos críticos são $ x = 0 $ e $ x = 1 $.

Passo 6

Vamos analisar a primeira derivada para ver onde a função está crescendo ou decrescendo.
  • Para $ x < 0 $: escolha $ x = -1 $
    x < 0
  • Para $ 0 < x < 1 $: escolha $ x = 0.5 $
    x = -1
  • Para $ x > 1 $: escolha $ x = 2 $
    f'(-1) = -12(-1)^3 + 24(-1)^2 - 12(-1) = 12 + 24 + 12 = 48 > 0 implies cresce
Então, a função cresce antes de $ x = 0 $, decresce entre $ 0 $ e $ 1 $, e continua decrescendo após $ x = 1 $.

Passo 7

Vamos calcular a segunda derivada para descobrir a concavidade do gráfico e possíveis pontos de inflexão.
f''(x) = ddx(-12x^3 + 24x^2 - 12x) = -36x^2 + 48x - 12

Passo 8

Agora, vamos encontrar onde a segunda derivada é zero para identificar os pontos de inflexão.
-36x^2 + 48x - 12 = 0 Divide por -12: 3x^2 - 4x + 1 = 0 x = 4 pm raiz16 - 126 = 4 pm 26 x = 1 ou x = 13
Então, temos pontos de inflexão em $ x = \frac{1}{3} $ e $ x = 1 $.

Resposta

Resumindo, o gráfico da função $ f(x) = -3x^{4} + 8x^{3} - 6x^{2} - 2 $ é definido para todos os reais, tende a $ -\infty $ nos extremos, cresce quando $ x < 0 $, decresce entre $ 0 $ e $ 1 $ e continua decrescendo para $ x > 1 $. Além disso, possui pontos de inflexão em $ x = \frac{1}{3} $ e $ x = 1 $, indicando mudanças na concavidade do gráfico.

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