Apresentar, detalhadamente, os 8 passos que estudamos em aula, para definir o comportamento do gráfico da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai analisar o comportamento do gráfico da função $ f(x) = -3x^{4} + 8x^{3} - 6x^{2} - 2 $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo como derivadas para encontrar máximos, mínimos, pontos de inflexão, além de analisar intervalos de crescimento e decrescimento. Vamos dividir isso em 8 passos para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. Como é um polinômio, ele está definido para todos os números reais. Ou seja, $ domínio = \mathbb{R} $.
Passo 3
Agora, vamos achar os limites da função quando $ x $ tende a mais e menos infinito. Isso ajuda a entender o comportamento das extremidades do gráfico.
Para $ x \to +\infty $:
Para $ x \to -\infty $:
Então, nos dois extremos, o gráfico vai para $ -\infty $.
Passo 4
Vamos calcular a primeira derivada para encontrar os pontos críticos, ou seja, onde a função pode ter máximos ou mínimos.
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar onde a primeira derivada é zero ou não existe. Esses pontos são candidatos a máximos ou mínimos.
Então, os pontos críticos são $ x = 0 $ e $ x = 1 $.
Passo 6
Vamos analisar a primeira derivada para ver onde a função está crescendo ou decrescendo.
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Para $ x < 0 $: escolha $ x = -1 $
-
Para $ 0 < x < 1 $: escolha $ x = 0.5 $
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Para $ x > 1 $: escolha $ x = 2 $
Então, a função cresce antes de $ x = 0 $, decresce entre $ 0 $ e $ 1 $, e continua decrescendo após $ x = 1 $.
Passo 7
Vamos calcular a segunda derivada para descobrir a concavidade do gráfico e possíveis pontos de inflexão.
Passo 8
Agora, vamos encontrar onde a segunda derivada é zero para identificar os pontos de inflexão.
Então, temos pontos de inflexão em $ x = \frac{1}{3} $ e $ x = 1 $.
Resposta
Resumindo, o gráfico da função $ f(x) = -3x^{4} + 8x^{3} - 6x^{2} - 2 $ é definido para todos os reais, tende a $ -\infty $ nos extremos, cresce quando $ x < 0 $, decresce entre $ 0 $ e $ 1 $ e continua decrescendo para $ x > 1 $. Além disso, possui pontos de inflexão em $ x = \frac{1}{3} $ e $ x = 1 $, indicando mudanças na concavidade do gráfico.