Esboce o gráfico das função:
f(x, y)=e^y-1.

Passo 1

Estamos com a função de duas variáveis f(x,y)=e^{y-1} e queremos esboçar seu gráfico em 3D — conteúdo: superfícies de funções de duas variáveis. Para isso precisamos lembrar como representar z=f(x,y) e como interpretar dependências parciais.

Passo 2

Repare que f não depende de x, só varia com y. Logo, para cada plano x=const temos a mesma curva no plano y–z dada por z=e^{y-1}. Na prática isso significa que a superfície será análoga a uma curva exponencial “esticada” ao longo do eixo x.

Passo 3

Vamos obter alguns valores na curva z=e^{y-1} para orientar o desenho: y=0 ⇒ z=e^{-1}≈0,37; y=1 ⇒ z=e^0=1; y=2 ⇒ z=e^1≈2,72; y=-1 ⇒ z=e^{-2}≈0,14. Assim vemos que, à medida que y cresce, z cresce exponencialmente.

Passo 4

Para esboçar juntamos tudo: desenhe os três eixos (x, y e z), trace a curva exponencial z=e^{y-1} no plano y–z (x=0) usando os pontos de referência e depois “extruda” essa curva paralelamente ao eixo x, formando uma espécie de “parede” ou “túnel” exponencial.

Passo 5

Opcionalmente, observe as curvas de nível z=C são retas y=1+lnC paralelas ao eixo x no plano x–y, reforçando que o gráfico é uma superfície cilíndrica em torno do eixo x.

Resposta

O gráfico é a superfície obtida ao extrudar a curva z=e^{y-1} (plano y–z) paralelamente ao eixo x, ou seja, uma “parede” exponencial que não varia em x e cresce conforme y aumenta.

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