Apresentar a expressão analítica do Potencial na região entre as Placas de um Capacitor de Placas Paralelas, supondo que em x=0 localiza-se uma das placas, a qual é mantida a V_{0} volts; e que em x=d localiza-se a segunda placa, a qual é mantida a V_{d} volts. Atenção: considere que V_{d}>V_{0}. ( 15 pontos)

Passo 1

O enunciado pede a expressão analítica do potencial eletrostático \,V(x)\, no espaço entre duas placas paralelas onde em x=0 temos V(0)=V_{0} e em x=d temos V(d)=V_{d}, com V_{d}>V_{0}. O problema é unidimensional e em região livre de cargas satisfaz a equação de Laplace unidimensional.

Passo 2

Em ausência de carga volumétrica a equação de Laplace em uma dimensão é
\frac{d^{2}V}{dx^{2}} = 0.
Integramos essa equação para obter a forma geral de V(x).

Passo 3

Integrando uma vez temos
\frac{dV}{dx} = A,
onde A é constante. Integrando de novo
V(x) = A\,x + B,
com A e B constantes de integração a determinar.

Passo 4

Aplicando as condições de contorno:
V(0) = B = V_{0},
V(d) = A\,d + B = V_{d}.
Da segunda condição vem
A = \frac{V_{d}-V_{0}}{d}.
Logo,
V(x) = V_{0} + \frac{V_{d}-V_{0}}{d}\;x.

Resposta

V(x) = V_{0} + \frac{V_{d}-V_{0}}{d}\,x.

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