1. (Valor: 2.5 pontos) Considere uma distribuição formada por duas cargas +q nas posições \vec{r}_{1}=a(\hat{x}+\hat{y}) e \vec{r}_{2}=-a(\hat{x}+\hat{y}) e duas cargas -q nas posições \vec{r}_{3}=a(\hat{x}-\hat{y}) e \vec{r}_{4}=a(-\hat{x}+\hat{y}).
    (a) Qual é a energia total desta distribuição de carga?
    (b) Calcule o campo elétrico para um ponto qualquer no plano x y.

Passo 1

Temos quatro cargas pontuais no plano xy: duas de sinal positivo +q em
\vec r_{1}=a(\hat x+\hat y)\,,\quad \vec r_{2}=-a(\hat x+\hat y)
e duas de sinal negativo -q em
\vec r_{3}=a(\hat x-\hat y)\,,\quad \vec r_{4}=a(-\hat x+\hat y)\,.
O conteúdo a usar é a energia eletrostática de um conjunto de cargas, dada por
U=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\sum_{i<j}\frac{q_{i}q_{j}}{r_{ij}}
e o campo elétrico de cargas pontuais, dado por
\vec E(\vec r) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \sum_{i}q_{i}\,\frac{\vec r - \vec r_{i}}{\bigl|\vec r - \vec r_{i}\bigr|^{3}}\,.

Passo 2

Calculemos primeiro todos os módulos de separação r_{ij}=|\vec r_{i}-\vec r_{j}|:
  1. Entre as cargas +q:
r_{12} =\bigl|\vec r_{1}-\vec r_{2}\bigr| =\bigl|2a(\hat x+\hat y)\bigr| =2a\sqrt2.
  1. Entre as cargas -q:
r_{34} =\bigl|\vec r_{3}-\vec r_{4}\bigr| =\bigl|(a,-a)-(-a,a)\bigr| =2a\sqrt2.
  1. Entre cada +q e cada -q há quatro pares e em cada caso
r_{1,3}=r_{1,4}=r_{2,3}=r_{2,4}=2a.
Aplicando
U=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \Bigl[ \frac{q\cdot q}{r_{12}} +\frac{(-q)\cdot(-q)}{r_{34}} +4\,\frac{(+q)\,(-q)}{2a} \Bigr]
obtemos
U=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \Bigl[ \frac{q^{2}}{2a\sqrt2} +\frac{q^{2}}{2a\sqrt2} -\,4\,\frac{q^{2}}{2a} \Bigr] =\frac{q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\,a}\Bigl(\tfrac1{\sqrt2}-2\Bigr).

Passo 3

Para um ponto genérico \vec r=x\hat x+y\hat y, o campo resultante é
\vec E(\vec r) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \Bigl[ q\,\frac{\vec r-\vec r_{1}}{\bigl|\vec r-\vec r_{1}\bigr|^{3}} +q\,\frac{\vec r-\vec r_{2}}{\bigl|\vec r-\vec r_{2}\bigr|^{3}} -q\,\frac{\vec r-\vec r_{3}}{\bigl|\vec r-\vec r_{3}\bigr|^{3}} -q\,\frac{\vec r-\vec r_{4}}{\bigl|\vec r-\vec r_{4}\bigr|^{3}} \Bigr].
Escrevendo componentes, note que \vec r_{1}=(a,a), \vec r_{2}=(-a,-a), \vec r_{3}=(a,-a), \vec r_{4}=(-a,a),
portanto por exemplo
\vec r-\vec r_{1} =(x-a)\hat x+(y-a)\hat y, \quad \bigl|\vec r-\vec r_{1}\bigr| =\bigl[(x-a)^{2}+(y-a)^{2}\bigr]^{1/2},
e assim por diante para os quatro termos.

Resposta

Energia total da distribuição:
U=\frac{q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\,a}\Bigl(\tfrac1{\sqrt2}-2\Bigr).
Campo elétrico num ponto \vec r=(x,y):
\vec E(\vec r) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \Bigl[ q\,\frac{(x-a)\hat x+(y-a)\hat y}{\bigl[(x-a)^{2}+(y-a)^{2}\bigr]^{3/2}} +q\,\frac{(x+a)\hat x+(y+a)\hat y}{\bigl[(x+a)^{2}+(y+a)^{2}\bigr]^{3/2}}
\quad -q\,\frac{(x-a)\hat x+(y+a)\hat y}{\bigl[(x-a)^{2}+(y+a)^{2}\bigr]^{3/2}} -q\,\frac{(x+a)\hat x+(y-a)\hat y}{\bigl[(x+a)^{2}+(y-a)^{2}\bigr]^{3/2}} \Bigr].

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