Decidir se o campo vetorial
é ou não é um campo solenoidal. Atenção: a sua resposta precisa ser justificada com cálculos! ( 15 pontos)
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede para decidir se ele é solenoidal. O conteúdo aqui é cálculo vetorial, mais precisamente o conceito de divergente e a condição de um campo ser solenoidal (campo sem “fontes” nem “sumidouros”), que ocorre exatamente quando a divergência é nula em todo ponto.
Passo 2
Lembramos que a divergência de um campo
em coordenadas cartesianas é dada por
Aqui,
,
e
.
Passo 3
Calculamos o primeiro termo:
pois
e
são tratados como constantes em derivação parcial em relação a
.
Passo 4
Calculamos o segundo termo:
pois
e
são constantes quando derivamos em relação a
.
Passo 5
Calculamos o terceiro termo:
já que
e
são constantes na derivação em relação a
.
Passo 6
Somamos os três termos para obter a divergência:
Portanto, a divergência é zero em todo ponto
.
Resposta
Como
identicamente, o campo
é solenoidal.