Decidir se o campo vetorial \vec{A}(x, y, z)=[x(z-y) \hat{x}+y(x-z) \hat{y}+z(y-x) \hat{z}] é ou não é um campo solenoidal. Atenção: a sua resposta precisa ser justificada com cálculos! ( 15 pontos)

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\vec{A}(x,y,z) = \bigl[x(z-y)\bigr]\hat{x} + \bigl[y(x-z)\bigr]\hat{y} + \bigl[z(y-x)\bigr]\hat{z}
e pede para decidir se ele é solenoidal. O conteúdo aqui é cálculo vetorial, mais precisamente o conceito de divergente e a condição de um campo ser solenoidal (campo sem “fontes” nem “sumidouros”), que ocorre exatamente quando a divergência é nula em todo ponto.

Passo 2

Lembramos que a divergência de um campo \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) em coordenadas cartesianas é dada por
\nabla\cdot\vec{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}.
Aqui, A_x = x(z-y), A_y = y(x-z) e A_z = z(y-x).

Passo 3

Calculamos o primeiro termo:
\frac{\partial A_x}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl[x(z-y)\bigr] = z - y,
pois z e y são tratados como constantes em derivação parcial em relação a x.

Passo 4

Calculamos o segundo termo:
\frac{\partial A_y}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl[y(x-z)\bigr] = x - z,
pois x e z são constantes quando derivamos em relação a y.

Passo 5

Calculamos o terceiro termo:
\frac{\partial A_z}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}\bigl[z(y-x)\bigr] = y - x,
já que y e x são constantes na derivação em relação a z.

Passo 6

Somamos os três termos para obter a divergência:
\nabla\cdot\vec{A} = (z - y) + (x - z) + (y - x) = z - y + x - z + y - x = 0.
Portanto, a divergência é zero em todo ponto (x,y,z).

Resposta

Como \nabla\cdot\vec{A}=0 identicamente, o campo \vec{A} é solenoidal.

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