Um cubo gaussiano está centrado na origem do \mathbb{R}^{3} e tem as suas arestas paralelas aos eixos (x, y, z). As arestas medem 2,00 m. - cubo está imerso em uma região em que o campo elétrico \vec{E} é tal que \epsilon_{0} \vec{E}=\left(10 x^{3} / 3\right) \hat{x}. Responda: qual é a carga elétrica total contida no interior do cubo gaussiano? ( 20 pontos)

Passo 1

O enunciado apresenta um cubo de aresta 2{,}00 m centrado na origem e alinhado com os eixos, imerso em um campo elétrico tal que
\epsilon_{0}\,\vec{E} = \Bigl(\tfrac{10\,x^{3}}{3}\Bigr)\,\hat{x}.
Pede-se a carga elétrica total contida no interior do cubo.

Passo 2

Usaremos a forma diferencial da lei de Gauss em eletrostática:
\nabla\!\cdot\!(\epsilon_{0}\,\vec{E}) \;=\;\rho,
onde \rho é a densidade volumétrica de carga.

Passo 3

Calculamos a densidade \rho(x) aplicando a divergência ao vetor dado:
\rho(x) =\nabla\!\cdot\!(\epsilon_{0}\,\vec{E}) =\frac{\partial}{\partial x}\!\Bigl(\tfrac{10\,x^{3}}{3}\Bigr) =10\,x^{2}.

Passo 4

A carga total é a integral de \rho sobre o volume do cubo \{(x,y,z)\mid x,y,z\in[-1,1]\}:
Q =\int_{-1}^{1}\!\int_{-1}^{1}\!\int_{-1}^{1}10\,x^{2}\,dx\,dy\,dz =4\;\times\;10\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx =4\;\times\;10\;\times\;\tfrac{2}{3} =\frac{80}{3}\,\mathrm{C} \approx26{,}7\,\mathrm{C}.

Resposta

Q=\frac{80}{3}\,\mathrm{C}\approx26{,}7\,\mathrm{C}.

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