Apresentar 8 relações mostrando diferenças entre a trigonometria circular (à esquerda) e a trigonometria hiperbólica (à direita).

Passo 1

O enunciado pede para comparar a trigonometria circular e a trigonometria hiperbólica, apresentando oito pares de relações que mostrem suas diferenças principais. Vamos usar definições via exponenciais, propriedades de paridade, identidades pitagóricas, derivadas, fórmulas de adição, periodicidade e intervalo de valores, funções derivadas (tangente e secante) e séries de Taylor.

Passo 2

Definições via exponenciais
cos x = e^ix+e^-ix2, sin x = e^ix-e^-ix2i
cosh x = e^x+e^-x2, sinh x = e^x-e^-x2

Passo 3

Paridade (função par ou ímpar)
cos(-x)=cos x, sin(-x)=-sin x
cosh(-x)=cosh x, sinh(-x)=-sinh x

Passo 4

Identidades pitagóricas
cos^2 x + sin^2 x = 1
cosh^2 x - sinh^2 x = 1

Passo 5

Derivadas
ddxl(sin xr)=cos x, ddxl(cos xr)=-sin x
ddxl(sinh xr)=cosh x, ddxl(cosh xr)=sinh x

Passo 6

Fórmulas de adição
sin(a+b)=sin acos b+cos asin b, cos(a+b)=cos acos b-sin asin b
sinh(a+b)=sinh acosh b+cosh asinh b, cosh(a+b)=cosh acosh b+sinh asinh b

Passo 7

Periodicidade e intervalo de valores
Trigonométricas são periódicas:
sin(x+2pi)=sin x, cos(x+2pi)=cos x
e têm imagem em [-1,1].
Hiperbólicas não são periódicas e têm imagem
sinh xin(-infty,infty), cosh xin[1,infty)

Passo 8

Tangente e secante

Passo 9

Séries de Taylor em torno de 0
sin x = sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)!, cos x = sumn=0^infty(-1)^nx^2n(2n)!
sinh x = sumn=0^inftyx^2n+1(2n+1)!, cosh x = sumn=0^inftyx^2n(2n)!

Resposta

1. Definições via exponenciais:
2. Paridade:
e são pares,
e são ímpares.
3. Identidades pitagóricas:

4. Derivadas:

5. Fórmulas de adição:

6. Periodicidade e imagem:
Trig: -periódicas, imagem em .
Hiperbólicas: não periódicas, .
7. Tangente e secante:

8. Séries de Taylor em 0:

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