Q 28 Com base na qauestão anterior e completando quadrado (quando necessário), determine:
integral x-3x^2-2 x+5 d x;

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos calcular a integral
integral x - 3x^2 - 2x + 5,dx
Conteúdo envolvido: integração de função racional usando (1) completar o quadrado no denominador e (2) decompor o numerador em uma parte proporcional à derivada do denominador e uma parte constante.

Passo 2

Completar o quadrado no denominador. Temos
x^2 - 2x + 5 = (x^2 - 2x +1) + 4 = (x - 1)^2 + 2^2

Passo 3

Decompor o numerador x - 3 de modo a extrair a derivada do denominador. Observe que
ddxl[(x-1)^2+4r]=2(x-1)
Escrevemos
x - 3 = (x - 1) ;+; (-2)
Assim a integral se separa:
integral x - 3(x-1)^2+4,dx = integral x - 1(x-1)^2+4,dx ;-;2integral 1(x-1)^2+4,dx

Passo 4

Tratar a primeira parte por substituição. Ponha
u = (x-1)^2 + 4, du = 2(x-1),dx ;Longrightarrow; (x-1),dx = 12,du
Logo
integral x - 1(x-1)^2+4,dx = integral 12,duu = 12lnl|ur| = 12lnl((x-1)^2+4r)

Passo 5

Tratar a segunda parte usando a fórmula de arco-tangente. Sabemos que
integral 1(x-1)^2+2^2,dx = 12arctan!l(tfracx-12r)
Assim
-2integral 1(x-1)^2+4,dx = -2 cdot 12arctan!l(tfracx-12r) = -arctan!l(tfracx-12r)

Passo 6

Reunindo os dois resultados e acrescentando a constante de integração C, obtemos
integral x - 3x^2 - 2x + 5,dx = 12lnl((x-1)^2+4r) ;-;arctan!l(tfracx-12r) ;+;C

Resposta

boxed integral x - 3x^2 - 2x + 5,dx = 12lnl((x-1)^2+4r) - arctan!l(tfracx-12r) + C

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