Apresentar os valores de erro os elementos abaixo considerando os processos de arredondamento e truncamento para o intervalo de zero a sete casas decimais.
\sqrt{3}= ?

Passo 1

O problema pede que a gente aproxime \sqrt{3} por truncamento e por arredondamento, considerando exatamente de zero até sete casas decimais, e calcule o erro absoluto de cada aproximação. Vamos precisar do valor “verdadeiro” de \sqrt{3} com bastante precisão e usar as definições de truncamento e de arredondamento a k casas decimais, bem como a fórmula do erro absoluto e=|x_{\text{aprox}}-\sqrt{3}|.

Passo 2

Para ter uma referência, tomamos
\sqrt{3}\approx 1,7320508076\ldots
arredondando esse valor para 10 casas após a vírgula.

Passo 3

Definimos as aproximações por truncamento: para cada k\in\{0,1,\dots,7\},
\tilde x_k = \frac{\lfloor \sqrt{3}\times 10^k\rfloor}{10^k}.
Calculando, obtemos \tilde x_0=1, \tilde x_1=1,7, \tilde x_2=1,73, \tilde x_3=1,732, \tilde x_4=1,7320, \tilde x_5=1,73205, \tilde x_6=1,732050, \tilde x_7=1,7320508.

Passo 4

Definimos as aproximações por arredondamento: para cada k,
\hat x_k = \frac{\mathrm{round}(\sqrt{3}\times 10^k)}{10^k}.
Isso dá \hat x_0=2, \hat x_1=1,7, \hat x_2=1,73, \hat x_3=1,732, \hat x_4=1,7321, \hat x_5=1,73205, \hat x_6=1,732051, \hat x_7=1,7320508.

Passo 5

O erro absoluto de cada aproximação é
e_k^{\rm trunc}=\bigl|\tilde x_k-\sqrt{3}\bigr|,\qquad e_k^{\rm round}=\bigl|\hat x_k-\sqrt{3}\bigr|.
Calculando e organizando:

Resposta

k Truncamento \tilde x_k Erro e_k^{\rm trunc} Arredondamento \hat x_k Erro e_k^{\rm round}
0 1 0,7320508076 2 0,2679491924
1 1,7 0,0320508076 1,7 0,0320508076
2 1,73 0,0020508076 1,73 0,0020508076
3 1,732 0,0000508076 1,732 0,0000508076
4 1,7320 0,0000508076 1,7321 0,0000491924
5 1,73205 0,0000008076 1,73205 0,0000008076
6 1,732050 0,0000008076 1,732051 0,0000001924
7 1,7320508 0,0000000076 1,7320508 0,0000000076

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