Apresente uma aplicação do estudo de derivada relacionada a alguma disciplina/temática/ ou situação-problema relacionada ao curso que você está realizando.

Passo 1

O enunciado pede que a gente apresente uma aplicação prática do conceito de derivada em alguma disciplina ou situação-problema do curso. Aqui vamos trabalhar com a condução de calor em engenharia (disciplina de Transferência de Calor), em que a derivada da temperatura em relação ao espaço nos dá o fluxo de calor segundo a lei de Fourier. Para isso precisamos do conceito de derivada como taxa de variação espacial e da formulação da lei de Fourier.

Passo 2

Considere uma parede plana de espessura L, com temperatura da face quente igual a T_0 em x=0 e da face fria igual a T_L em x=L. Em regime estacionário e unidimensional, a distribuição de temperatura T(x) é suave e a derivada \frac{dT}{dx} existe em todo ponto de 0\le x\le L.

Passo 3

Pela lei de Fourier, o fluxo de calor por unidade de área q'' (positivo no sentido do calor indo de quente para frio) é dado por
q'' = -\,k\,\frac{dT}{dx}
onde k é a condutividade térmica do material. Note que aparece a derivada espacial \frac{dT}{dx}, que é exatamente uma aplicação de derivada para medir a variação de temperatura.

Passo 4

Se a parede tem comportamento linear, então
T(x)=T_{0} + \bigl(T_{L}-T_{0}\bigr)\,\frac{x}{L}
e sua derivada é
\frac{dT}{dx} = \frac{T_{L}-T_{0}}{L}\,.
Substituindo em Fourier, obtém-se
q'' = -\,k\,\frac{T_{L}-T_{0}}{L}\,.

Passo 5

Com esse resultado podemos, por exemplo, projetar a espessura L de um isolante térmico para garantir que o fluxo de calor q'' não ultrapasse um valor máximo admissível q''_{\max}. Basta resolver
q''_{\max} = k\,\frac{T_{0}-T_{L}}{L}
para L, usando a derivada para relacionar gradiente de temperatura e fluxo de calor.

Resposta

Uma aplicação do estudo de derivada em engenharia é a lei de Fourier para condução de calor, em que o fluxo de calor por área é proporcional à derivada espacial da temperatura:
q'' = -k\,\frac{dT}{dx}\,.

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