Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
(y^{\prime}-2 y=t^{2} e^{2 t})

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial linear de primeira ordem y' - 2y = t^2 e^{2t},
onde y é função de t. Para resolvê-la usaremos o método do fator integrante.

Passo 2

Numa equação da forma y' + a(t)\,y = b(t), identificamos a(t) = -2 e b(t) = t^2 e^{2t}.
O fator integrante \mu(t) é dado por
\mu(t) = \exp\Bigl(\int a(t)\,dt\Bigr) = \exp\Bigl(\int -2\,dt\Bigr) = e^{-2t}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(t), obtendo
e^{-2t}y' - 2e^{-2t}y = e^{-2t}\,t^2 e^{2t}.
O lado esquerdo reconhece-se como a derivada do produto \mu(t)\,y, ou seja,
(e^{-2t}y)' = t^2.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
\int (e^{-2t}y)'\,dt = \int t^2\,dt \quad\Longrightarrow\quad e^{-2t}y = \frac{t^3}{3} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolamos y multiplicando por e^{2t}, resultando na solução geral
y(t) = e^{2t}\Bigl(\frac{t^3}{3} + C\Bigr).

Resposta

y(t) = e^{2t}\Bigl(\tfrac{t^3}{3} + C\Bigr)

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