Calcule o trabalho ao se deslocar uma partícula no campo de força \vec{F}=3 x^{2} \vec{i}+(2 x z-y) \vec{j}+z \vec{k} ao longo da curva x=2 t^{2}, y=t, z=4 t^{2}-t de t=0 até t=1.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
W=\int_{C}\vec F\cdot d\vec r
num campo de força \vec F=3x^{2}\,\vec i+(2xz-y)\,\vec j+z\,\vec k
ao longo da curva parametrizada por
x=2t^{2},\quad y=t,\quad z=4t^{2}-t,\quad 0\le t\le1.
O conteúdo aqui é integral de linha de campo vetorial: vamos parametrizar C, calcular d\vec r, avaliar \vec F em \vec r(t), formar o produto escalar e integrar.

Passo 2

Definimos a parametrização \vec r(t)=(2t^{2},\,t,\,4t^{2}-t).
A derivada é
\vec r\,'(t)=\bigl(4t,\,1,\,8t-1\bigr).
Substituindo na força, obtemos
\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr) =\bigl(3(2t^{2})^{2},\,2\,(2t^{2})(4t^{2}-t)-t,\;4t^{2}-t\bigr) =(12t^{4},\,16t^{4}-4t^{3}-t,\;4t^{2}-t).

Passo 3

O integrando é o produto escalar
\vec F(\vec r(t))\cdot\vec r\,'(t) =12t^{4}\cdot4t+(16t^{4}-4t^{3}-t)\cdot1+(4t^{2}-t)(8t-1).
Expandindo e somando termos dá
48t^{5}+16t^{4}+28t^{3}-12t^{2}.

Passo 4

Agora integramos de 0 a 1:
W=\int_{0}^{1}\bigl(48t^{5}+16t^{4}+28t^{3}-12t^{2}\bigr)\,dt =\Bigl[8t^{6}+\tfrac{16}{5}t^{5}+7t^{4}-4t^{3}\Bigr]_{0}^{1} =8+\tfrac{16}{5}+7-4.

Passo 5

Somando 8+7-4=11 e depois 11+\tfrac{16}{5}=\tfrac{55}{5}+\tfrac{16}{5}=\tfrac{71}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{71}{5}

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