Calcule o trabalho ao se deslocar uma partícula no campo de força \vec{F}=3 x^{2} \vec{i}+(2 x z-y) \vec{j}+z \vec{k} ao longo da curva definida por x=4 y, 3 x^{3}=8 z, de x=0 até x=2.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado por um campo de força \vec{F}=3 x^{2}\,\vec{i}+(2 x z - y)\,\vec{j}+z\,\vec{k} ao longo da curva dada por
x=4y,\quad 3x^{3}=8z,
de x=0 até x=2.
O conteúdo necessário é integral de linha de campo vetorial: vamos parametrizar a curva, calcular \vec{r}'(t), avaliar \vec{F} na parametrização e integrar o produto escalar \vec{F}\cdot\vec{r}'.

Passo 2

Parametrizamos em função de t=x. Da equação x=4y vem
y=\frac{t}{4},
e de 3x^{3}=8z vem
z=\frac{3\,t^{3}}{8}.
Logo
\vec{r}(t)=\bigl(t,\;\tfrac{t}{4},\;\tfrac{3t^{3}}{8}\bigr),\quad 0\le t\le2.
Derivando,
\vec{r}\,'(t)=\Bigl(1,\;\tfrac{1}{4},\;\tfrac{9t^{2}}{8}\Bigr).

Passo 3

Substituímos na força:
\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr) =\bigl(3t^{2},\;2\,t\cdot\tfrac{3t^{3}}{8}-\tfrac{t}{4},\;\tfrac{3t^{3}}{8}\bigr) =\Bigl(3t^{2},\;\tfrac{3}{4}t^{4}-\tfrac{t}{4},\;\tfrac{3t^{3}}{8}\Bigr).

Passo 4

O produto escalar é
\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\cdot\vec{r}\,'(t) =3t^{2}\cdot1 +\Bigl(\tfrac{3}{4}t^{4}-\tfrac{t}{4}\Bigr)\cdot\tfrac{1}{4} +\tfrac{3t^{3}}{8}\cdot\tfrac{9t^{2}}{8}.
Simplificando,
\vec{F}\cdot\vec{r}\,'=3t^{2} +\tfrac{3}{16}t^{4} -\tfrac{1}{16}t +\tfrac{27}{64}t^{5}.

Passo 5

Integramos de 0 a 2:
W=\int_{0}^{2}\Bigl(3t^{2}+\tfrac{3}{16}t^{4}-\tfrac{1}{16}t+\tfrac{27}{64}t^{5}\Bigr)\,dt.
Calculando termo a termo,
\int_{0}^{2}3t^{2}dt=8,\quad \int_{0}^{2}\tfrac{3}{16}t^{4}dt=\tfrac{6}{5},\quad \int_{0}^{2}-\tfrac{1}{16}t\,dt=-\tfrac{1}{8},\quad \int_{0}^{2}\tfrac{27}{64}t^{5}dt=\tfrac{9}{2}.
Somando,
W=8+\tfrac{6}{5}-\tfrac{1}{8}+\tfrac{9}{2} =\frac{543}{40}.

Resposta

W=\frac{543}{40}.

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