Apresente a definição de Equação Diferencial Exata. Faça breves comentários sobre o seu entendimento dessa definição.

Passo 1

O enunciado pede a definição de equação diferencial exata de primeira ordem e breves comentários sobre o significado dessa definição. O conteúdo principal é equações diferenciais exatas, condicionadas à existência de uma função potencial cujas derivadas parciais coincidam com os coeficientes da equação.

Passo 2

Uma equação diferencial de primeira ordem tem a forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
Ela é dita exata se existir uma função psi(x,y) tal que
partial psipartial x = M(x,y)
e
partial psipartial y = N(x,y)
Equivalemente, basta verificar na região de interesse que
partial Mpartial y = partial Npartial x

Passo 3

Esse conceito significa que o diferencial M,dx + N,dy é um diferencial total de alguma função psi. Em termos físicos ou geométricos, é como dizer que o campo vetorial (M,N) é conservativo, e as integrais são independentes do caminho. Na prática, uma vez confirmada a exatidão, resolvemos encontrando psi(x,y) e impondo psi(x,y)=C para obter a solução.

Resposta

Uma equação diferencial de primeira ordem M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0 é exata se existir uma função potencial psi(x,y) tal que partialpsi/partial x = M e partialpsi/partial y = N. Equivalentemente, na região considerada deve valer a condição de integrabilidade
partial Mpartial y = partial Npartial x Essa definição garante que o diferencial M,dx + N,dy seja um diferencial total, assegurando independência de caminho e facilitando a solução por meio da função potencial psi(x,y)=C.

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