Apresente a definição de Equação Diferencial Exata. Faça breves comentários sobre o seu entendimento dessa definição.
Passo 1
O enunciado pede a definição de equação diferencial exata de primeira ordem e breves comentários sobre o significado dessa definição. O conteúdo principal é equações diferenciais exatas, condicionadas à existência de uma função potencial cujas derivadas parciais coincidam com os coeficientes da equação.
Passo 2
Uma equação diferencial de primeira ordem tem a forma
Ela é dita exata se existir uma função
tal que
e
Equivalemente, basta verificar na região de interesse que
Passo 3
Esse conceito significa que o diferencial
é um diferencial total de alguma função
. Em termos físicos ou geométricos, é como dizer que o campo vetorial
é conservativo, e as integrais são independentes do caminho. Na prática, uma vez confirmada a exatidão, resolvemos encontrando
e impondo
para obter a solução.
Resposta
Uma equação diferencial de primeira ordem
é exata se existir uma função potencial
tal que
e
. Equivalentemente, na região considerada deve valer a condição de integrabilidade