Apresente a definição de Equação Diferencial Homogênea. Faça breves comentários sobre o seu entendimento dessa definição.

Passo 1

O enunciado pede para apresentarmos a definição de equação diferencial homogênea e comentar brevemente o que entendemos por isso. O tema é EDOs de primeira ordem e o que significa uma função homogênea.

Passo 2

Uma EDO de primeira ordem na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0 é chamada de homogênea se as funções M e N forem homogêneas do mesmo grau k. Isso significa que, para todo escalar t, valem as propriedades:
M(t x, t y) = t^k,M(x,y)
N(t x, t y) = t^k,N(x,y)

Passo 3

Uma forma equivalente, ao passarmos para dydx = F(x,y), é que F(tx,ty)=F(x,y). Nesse caso costuma-se escrever F como função de y/x: dydx=fl(tfrac yxr).

Passo 4

O entendimento aqui é que “homogêneo” significa invariância de escala: se dobrarmos (ou multiplicarmos por qualquer t) as variáveis, a equação mantém a mesma forma funcional. É isso que leva à substituição típica y=ux, porque tudo depende da razão y/x.

Resposta

Uma equação diferencial de primeira ordem M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0 é chamada de homogênea se as duas funções M e N forem homogêneas do mesmo grau k, isto é, satisfizerem as relações:
M(t x, t y) = t^k,M(x,y),
N(t x, t y) = t^k,N(x,y)
Equivalentemente, ao escrevermos dydx = F(x,y), temos F(tx,ty)=F(x,y), de modo que F depende apenas da razão y/x. Essa invariância de escala permite usar a substituição y=ux para resolver a equação.

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