Apresente a definição de Equação Diferencial Homogênea. Faça breves comentários sobre o seu entendimento dessa definição.
Passo 1
O enunciado pede para apresentarmos a definição de equação diferencial homogênea e comentar brevemente o que entendemos por isso. O tema é EDOs de primeira ordem e o que significa uma função homogênea.
Passo 2
Uma EDO de primeira ordem na forma
é chamada de homogênea se as funções
e
forem homogêneas do mesmo grau
. Isso significa que, para todo escalar
, valem as propriedades:
Passo 3
Uma forma equivalente, ao passarmos para
, é que
. Nesse caso costuma-se escrever
como função de
:
.
Passo 4
O entendimento aqui é que “homogêneo” significa invariância de escala: se dobrarmos (ou multiplicarmos por qualquer
) as variáveis, a equação mantém a mesma forma funcional. É isso que leva à substituição típica
, porque tudo depende da razão
.
Resposta
Uma equação diferencial de primeira ordem
é chamada de homogênea se as duas funções
e
forem homogêneas do mesmo grau
, isto é, satisfizerem as relações:
Equivalentemente, ao escrevermos
, temos
, de modo que
depende apenas da razão
. Essa invariância de escala permite usar a substituição
para resolver a equação.