Calcule as integrais iteradeas

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é tipo uma integral dentro de outra. O enunciado pede para calcular integral1^4 integral0^2(6 x^2 y - 2 x) dy dx. Aqui, vamos usar o conteúdo de cálculo integral, mais especificamente integrais iteradas, que são usadas para calcular áreas ou volumes quando trabalhamos com funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é aquela em relação a y:
integral0^2 (6x^2y - 2x) dy
Aqui, tratamos x como uma constante porque estamos integrando em relação a y.

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral (6x^2y) dy - integral (2x) dy
Para o primeiro termo:
integral 6x^2y , dy = 6x^2 cdot y^22 = 3x^2y^2
Para o segundo termo:
integral 2x , dy = 2x cdot y

Passo 4

Substituímos os limites de integração de 0 a 2 para cada termo:
3x^2(2)^2 - 2x(2) - [3x^2(0)^2 - 2x(0)] = 3x^2(4) - 4x = 12x^2 - 4x
Os termos com 0 desaparecem, então a expressão fica:
12x^2 - 4x

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão resultante em relação a x de 1 a 4:
integral1^4 (12x^2 - 4x) dx
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 6

Integrando 12x^2 em relação a x:
integral 12x^2 dx = 12 cdot x^33 = 4x^3
E integrando -4x em relação a x:
integral -4x , dx = -4 cdot x^22 = -2x^2

Passo 7

Substituímos os limites de integração de 1 a 4 na expressão integrada:
[4x^3 - 2x^2]1^4 = (4(4)^3 - 2(4)^2) - (4(1)^3 - 2(1)^2)
Calculando cada parte:
4(64) - 2(16) = 256 - 32 = 224
E:
4(1) - 2(1) = 4 - 2 = 2
Então:
224 - 2 = 222

Resposta

A integral dupla vale 222.

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