Apresente a definição de Equação Diferencial Linear. Faça breves comentários sobre o seu entendimento dessa definição e dê ao mesmo um exemplo de uma equação linear.

Passo 1

O enunciado pede para apresentarmos a definição de equação diferencial linear, darmos um comentário sobre essa definição e, por fim, mostrarmos um exemplo de uma equação linear.

Passo 2

Uma equação diferencial é dita linear de ordem n se pode ser escrita na forma
an(x)d^n ydx^n + an-1(x)d^n-1ydx^n-1 + cdots + a1(x)dydx + a0(x)y = g(x)
onde as funções de coeficiente ai(x) e o termo não homogêneo g(x) dependem apenas de x, e a função desconhecida y(x) e suas derivadas aparecem apenas de forma linear.

Passo 3

Na prática, a linearidade significa que não temos produtos ou potências de y e de suas derivadas, apenas somas ponderadas por funções de x. Isso é bacana porque nos permite usar o princípio da superposição (somar soluções para gerar novas soluções) e aplicar métodos sistemáticos como fatores integrantes ou variação de parâmetros.

Passo 4

Um exemplo simples é uma equação de primeira ordem do tipo
dydx - 2y = e^x
que é linear porque y e dy/dx aparecem de forma linear, os coeficientes (aqui -2 e o termo e^x) dependem só de x.

Resposta

dydx - 2y = e^x

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