Determine a forma de uma solução particular de L(y)=phi(x) para phi(x) dada, se a solução da equação homogênea associada L(y)=0 for yh=c1e^5xcos 3x+c2e^5xsen 3x.
phi(x) = -23e^5x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma solução particular para a equação L(y)=phi(x) com phi(x)=-23e^5x, sabendo que a solução geral da homogênea é yh=c1e^5xcos3x+c2e^5xsin3x. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Identificamos que o operador L corresponde à equação característica r^2-10r+34=0, cujas raízes são r=5pm3i. Por isso, a homogênea envolve e^5xcos3x e e^5xsin3x.

Passo 3

Como phi(x)=-23e^5x é uma exponencial e o termo isolado e^5x não faz parte da base da homogênea, propomos uma solução particular do tipo yp=Ae^5x.

Passo 4

Calculamos as derivadas:
yp'=5Ae^5x,
yp''=25Ae^5x
Substituímos em L(y)=y''-10y'+34y:

Passo 5

Substituindo em bloco:
L(yp)=25Ae^5x-10cdot5Ae^5x+34Ae^5x=(25A-50A+34A)e^5x=9Ae^5x
Igualando a phi(x), temos 9Ae^5x=-23e^5x, o que dá A=-tfrac239.

Resposta

yp=-tfrac239e^5x

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