Apresente a definição de Equação Diferencial Separável. Faça breves comentários sobre o seu entendimento dessa definição e dê ao mesmo um exemplo de equação separável e não separável.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos o que é uma equação diferencial separável, fazermos comentários sobre essa definição e apresentarmos um exemplo de equação separável e outro de equação não separável. O conteúdo envolve classificação de EDOs (equações diferenciais ordinárias) e uso de operações algébricas para separar variáveis.
Passo 2
Uma EDO de primeira ordem é dita separável quando pode ser escrita na forma em que todo termo em
variante y fique de um lado e todo termo em x do outro. Em termos práticos, a equação
variante y fique de um lado e todo termo em x do outro. Em termos práticos, a equação
é separável se existe fatoração
para funções g e h apropriadas. Então podemos reorganizar como
permitindo integrar ambos os lados separadamente.
Na prática, entender separabilidade é perceber que podemos empilhar termos de y junto com dy e termos de x junto com dx, transformando a EDO em duas integrais mais simples. Isso facilita muito a resolução, pois vira apenas cálculo de primitivadas.
Na prática, entender separabilidade é perceber que podemos empilhar termos de y junto com dy e termos de x junto com dx, transformando a EDO em duas integrais mais simples. Isso facilita muito a resolução, pois vira apenas cálculo de primitivadas.
Passo 3
Exemplo de EDO separável: considere
Aqui f(x,y)=x·y, então g(x)=x e h(y)=y. Podemos escrever
e integrar cada lado.
Passo 4
Exemplo de EDO não separável: por exemplo
Não há como fatorar x+y como produto g(x)·h(y), então não podemos escrever uma forma
.
Resposta
Definição de EDO separável: uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é separável quando pode ser posta de modo que todas as ocorrências de y (com dy) fiquem de um lado da igualdade e todas as de x (com dx) fiquem do outro. Em geral, se
e existe fatoração
, podemos reescrever
e integrar cada membro separadamente.
Comentários: essa definição é útil porque transforma a resolução de uma EDO num cálculo de duas integrais simples. Ao “separar” as variáveis, concentramos toda a dependência de y num único lado e de x no outro.
Exemplo de equação separável:
que leva a
Exemplo de equação não separável:
pois não existe forma de escrever
como produto de uma função só de x por outra só de y.