Apresente a definição de Equação Diferencial Separável. Faça breves comentários sobre o seu entendimento dessa definição e dê ao mesmo um exemplo de equação separável e não separável.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos o que é uma equação diferencial separável, fazermos comentários sobre essa definição e apresentarmos um exemplo de equação separável e outro de equação não separável. O conteúdo envolve classificação de EDOs (equações diferenciais ordinárias) e uso de operações algébricas para separar variáveis.

Passo 2

Uma EDO de primeira ordem é dita separável quando pode ser escrita na forma em que todo termo em
variante y fique de um lado e todo termo em x do outro. Em termos práticos, a equação
dydx=f(x,y)
é separável se existe fatoração
f(x,y)=g(x),h(y),
para funções g e h apropriadas. Então podemos reorganizar como
1h(y),dy=g(x),dx,
permitindo integrar ambos os lados separadamente.
Na prática, entender separabilidade é perceber que podemos empilhar termos de y junto com dy e termos de x junto com dx, transformando a EDO em duas integrais mais simples. Isso facilita muito a resolução, pois vira apenas cálculo de primitivadas.

Passo 3

Exemplo de EDO separável: considere
dydx=x,y
Aqui f(x,y)=x·y, então g(x)=x e h(y)=y. Podemos escrever
1y,dy=x,dx
e integrar cada lado.

Passo 4

Exemplo de EDO não separável: por exemplo
dydx=x+y
Não há como fatorar x+y como produto g(x)·h(y), então não podemos escrever uma forma A(y),dy=B(x),dx.

Resposta

Definição de EDO separável: uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é separável quando pode ser posta de modo que todas as ocorrências de y (com dy) fiquem de um lado da igualdade e todas as de x (com dx) fiquem do outro. Em geral, se
dydx=f(x,y)
e existe fatoração f(x,y)=g(x),h(y), podemos reescrever
1h(y),dy=g(x),dx
e integrar cada membro separadamente.
Comentários: essa definição é útil porque transforma a resolução de uma EDO num cálculo de duas integrais simples. Ao “separar” as variáveis, concentramos toda a dependência de y num único lado e de x no outro.
Exemplo de equação separável:
dydx=x,y
que leva a
1y,dy=x,dx
Exemplo de equação não separável:
dydx=x+y,
pois não existe forma de escrever x+y como produto de uma função só de x por outra só de y.

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