A meia-vida do rádio-226 (2̌88Ra) é de 1.590 anos.
a) Uma amostra de rádio-226 tem uma massa de 100 mg . Encontre uma fórmula para a massa de ^228 Ra que permanece após t anos;
b) Calcule a massa depois de 1.000 anos, com precisão de 1 mg ;
c) Quando a massa será reduzida a 30 mg ?

Passo 1

O enunciado pede o decaimento radioativo de ^{226}Ra com meia-vida T_{1/2}=1590 anos, massa inicial M_0=100 mg e três tarefas: montar a lei de decaimento (item a), avaliar em t=1000 anos (item b) e achar t quando M=30 mg (item c). Vamos usar o modelo exponencial de decaimento, que relaciona M(t) à meia-vida.

Passo 2

Na teoria do decaimento radioativo, a massa remanescente M(t) após t anos satisfaz a lei
M(t)=M0(tfrac12)^tfractT1/2
onde M_0 é a massa inicial e T_{1/2} a meia-vida. Aqui M_0=100 mg e T_{1/2}=1590 anos.

Passo 3

Substituindo M_0 e T_{1/2} obtemos a fórmula geral (item a):
M(t)=100(tfrac12)^tfract1590 mg

Passo 4

Para o item b, basta pôr t=1000 na fórmula. Primeiro calculamos
(tfrac12)^tfrac10001590=e^10001590ln(1/2)approx e^-0.4358approx0.6468
Logo
$$
M(1000)=100\times0.6468\approx64.68\ mg$$
Arredondando para 1 mg, fica 65 mg.

Passo 5

No item c, resolvemos
100(tfrac12)^tfract1590=30
Tomando ln em ambos os lados:
t1590lnl(tfrac12r)=ln(0.3)Longrightarrow t=1590ln(0.3)ln(1/2)approx1590times1.7367approx2762.5 anos
Arredondando, t≈2763 anos.

Resposta

a) M(t)=100(tfrac12)^tfract1590 mg
b) 65 mg
c) 2763 anos

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