Apresente a definiçāo formal (utilizando a linguagem de \varepsilon \mathrm{e} \delta ) de limite para uma funçio vetorial de variável real, ou seja, defina o que significa dizer que \lim _{t \rightarrow 6} F(t)=L, onde F \rightarrow A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{n}, to 6 um ponto de acumulaçio dc A e L \in \mathbb{R}^{n}

Passo 1

O enunciado pede: dar a definição formal, na linguagem de \varepsilon e \delta, de
\lim_{t\to 6}F(t)=L,
onde F\colon A\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n, 6 é um ponto de acumulação de A e L\in\mathbb{R}^n.
Informações importantes fornecidas:
  • A função F tem domínio A\subset\mathbb{R} e imagem em \mathbb{R}^n.
  • O ponto onde tomamos o limite é t=6, que é ponto de acumulação de A (logo existem pontos de A arbitrariamente próximos de 6, possivelmente 6 não pertence a A).
  • O candidato a limite é o vetor L\in\mathbb{R}^n.

Passo 2

Antes de escrever a definição precisamos explicar a noção de distância em \mathbb{R}^n, porque a definição \varepsilon- \delta usa “distâncias”. A maneira mais comum é usar a norma euclidiana. Para um vetor x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n definimos
\|x\|=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}.
Essa norma mede a distância do vetor x à origem. A distância entre dois vetores u,v\in\mathbb{R}^n é \|u-v\|. Nesta definição usaremos essa norma para expressar “próximo” em \mathbb{R}^n.

Passo 3

Agora a definição \varepsilon- \delta propriamente dita. Vou escrever a versão completa e depois explicar cada parte:
\lim_{t\to 6}F(t)=L
significa que
\text{para todo }\varepsilon>0\text{ existe }\delta>0\text{ tal que, para todo }t\in A,
se
0<|t-6|<\delta
então
\|F(t)-L\|<\varepsilon.
Explicando peça por peça:
  • "Para todo \varepsilon>0" quer dizer: damos qualquer tolerância positiva de erro na imagem (um raio na bola em \mathbb{R}^n centrada em L).
  • "Existe \delta>0" significa que podemos escolher uma vizinhança de 6 (um intervalo em \mathbb{R}) que garante esse erro na imagem.
  • A condição 0<|t-6|<\delta impõe que t esteja dentro do intervalo de raio \delta em torno de 6, mas diferente de 6 (isso porque limite fala do comportamento quando t se aproxima de 6, não importa o valor em 6 se houver).
  • A conclusão \|F(t)-L\|<\varepsilon diz que a imagem F(t) fica dentro da bola de raio \varepsilon centrada em L em \mathbb{R}^n.

Passo 4

Intuição prática (para lembrar na prova): dado qualquer “raio” \varepsilon pequeno ao redor do vetor L, consegue-se encontrar um intervalo ao redor de 6 (exceto o próprio 6) tal que, sempre que t estiver nesse intervalo e pertencer a A, o vetor F(t) cairá dentro daquela bola de raio \varepsilon. É a mesma ideia de limite escalar, só que agora a proximidade na imagem é medida por \|\cdot\| em \mathbb{R}^n.

Passo 5

Uma observação muito útil para resolver exercícios: escrever F por componentes. Escrevendo
F(t)=(f_1(t),f_2(t),\dots,f_n(t)),\qquad L=(L_1,\dots,L_n),
temos a equivalência importante (e prática):
\lim_{t\to 6}F(t)=L \quad\Longleftrightarrow\quad \text{para cada }i=1,\dots,n,\\ \lim_{t\to 6}f_i(t)=L_i.
Vou demonstrar essa equivalência com cuidado, porque é algo que cai na prova e ajuda muito.

Passo 6

Prova da implicação \Rightarrow (do vetor para as componentes). Suponha que \lim_{t\to 6}F(t)=L segundo a definição do Passo 3. Dado \varepsilon>0, pela definição existe \delta>0 tal que 0<|t-6|<\delta e t\in A implicam \|F(t)-L\|<\varepsilon. Mas \|F(t)-L\|=\sqrt{\sum_{i=1}^n (f_i(t)-L_i)^2}. Em particular, para cada i,
|f_i(t)-L_i|\le \|F(t)-L\|<\varepsilon.
Portanto, para o mesmo \delta, 0<|t-6|<\delta implica |f_i(t)-L_i|<\varepsilon. Isso prova que \lim_{t\to 6}f_i(t)=L_i para cada i.

Passo 7

Prova da implicação \Leftarrow (das componentes para o vetor). Suponha que para cada i existe limite \lim_{t\to 6}f_i(t)=L_i. Queremos provar \lim_{t\to 6}F(t)=L. Pegue um \varepsilon>0. Uma estratégia padrão é reduzir o problema a garantir que cada componente esteja suficientemente próxima de seu alvo. Note que
\|F(t)-L\|=\sqrt{\sum_{i=1}^n (f_i(t)-L_i)^2}\le \sqrt{n}\,\max_{1\le i\le n}|f_i(t)-L_i|.
Logo, se conseguirmos garantir |f_i(t)-L_i|<\varepsilon/\sqrt{n} para todo i, então
\|F(t)-L\|<\sqrt{n}\cdot\frac{\varepsilon}{\sqrt{n}}=\varepsilon.
Pelo hipótese de limite em cada componente, para cada i existe \delta_i>0 tal que, para todo t\in A,
0<|t-6|<\delta_i\quad\Rightarrow\quad |f_i(t)-L_i|<\frac{\varepsilon}{\sqrt{n}}.
Escolhendo
\delta=\min\{\delta_1,\dots,\delta_n\},
temos que 0<|t-6|<\delta implica todas as desigualdades |f_i(t)-L_i|<\varepsilon/\sqrt{n} simultaneamente, e portanto \|F(t)-L\|<\varepsilon. Isso mostra a existência do \delta exigido e conclui a prova da equivalência.

Passo 8

Comentário técnico útil: na definição de limite poderia usar qualquer norma em \mathbb{R}^n (por exemplo norma sup, norma 1, etc.) e a definição daria a mesma noção de limite. Isso porque em espaços de dimensão finita todas as normas são equivalentes — na prática isso significa que exigir \|F(t)-L\|_{\text{eucl}}\!<\varepsilon é equivalente a exigir \|F(t)-L\|_{\infty}<\varepsilon' com uma relação entre \varepsilon e \varepsilon'. Para provas e exercícios é mais confortável usar a norma euclidiana como fizemos.

Passo 9

Exemplo rápido para fixar (útil para a prova): seja F(t)=(t^2,\sin t). Então
\lim_{t\to 6}F(t)=\bigl(6^2,\sin 6\bigr)=(36,\sin 6).
Raciocínio: t^2\to 36 e \sin t\to\sin 6. Pela equivalência componente a componente, o limite vetorial é o par (36,\sin 6). Se quiser formalizar com \varepsilon- \delta, aplica-se o mesmo argumento do Passo 7 (escolher \delta que funcione para ambas as componentes).

Resposta

A definição formal é: \lim_{t\to 6}F(t)=L significa que
\text{para todo }\varepsilon>0\\ \text{existe}\\ \delta>0\\ \text{tal que, para todo }t\in A,
se
0<|t-6|<\delta,
então
\|F(t)-L\|<\varepsilon.

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