Considere as funções vetoriais F, G: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dadas por F(t)=\left(t, t^{2}, 1\right) e G(t)= ( \cos t, \sin t, t ), e a função escalar real h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por h(t)=t^{\prime}. Calcule as seguintes operações:
O produto escalar F(t) \cdot G(t).

Passo 1

O enunciado nos dá as funções vetoriais e a pergunta a ser respondida. Vou listar tudo que foi dado (sem resolver ainda):
  • F(t)=\left(t, t^{2}, 1\right).
  • G(t)=\left(\cos t, \sin t, t\right).
  • Também foi dada uma função escalar h(t)=t' (informação fornecida no enunciado).
    A questão pede: calcular o produto escalar F(t)\cdot G(t).

Passo 2

Lembrete do que é o produto escalar em \mathbb{R}^{3}. Para dois vetores
A=(A_{1},A_{2},A_{3}),\qquad B=(B_{1},B_{2},B_{3}),
o produto escalar (ou produto interno padrão) é definido por
A\cdot B = A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}.
Explicando devagar: pega-se cada componente correspondente dos dois vetores, multiplica-se componente a componente e soma-se tudo no final. O resultado é um número real (um escalar). Essa é a regra que vou aplicar a F(t) e G(t).

Passo 3

Identificar as componentes de F(t) e G(t):
F(t) = \big(F_{1}(t),F_{2}(t),F_{3}(t)\big) = \big(t,\; t^{2},\; 1\big),
G(t) = \big(G_{1}(t),G_{2}(t),G_{3}(t)\big) = \big(\cos t,\; \sin t,\; t\big).
Aplicando a fórmula do produto escalar componente a componente:
F(t)\cdot G(t)=F_{1}(t)G_{1}(t)+F_{2}(t)G_{2}(t)+F_{3}(t)G_{3}(t).

Passo 4

Calcular cada termo da soma:
  • Primeiro termo: F_{1}(t)G_{1}(t)=t\cdot\cos t = t\cos t.
  • Segundo termo: F_{2}(t)G_{2}(t)=t^{2}\cdot\sin t = t^{2}\sin t.
  • Terceiro termo: F_{3}(t)G_{3}(t)=1\cdot t = t.
    Somando os três:
F(t)\cdot G(t)=t\cos t + t^{2}\sin t + t.

Passo 5

Forma factorizada (opcional, útil em provas para simplificar manipulações):
F(t)\cdot G(t)=t\big(\cos t + t\sin t + 1\big).
Pequena verificação com valores fáceis:
  • Para t=0: \cos 0=1,\\ \sin 0=0 então F(0)\cdot G(0)=0\cdot1+0\cdot0+0=0.
  • Para t=\tfrac{\pi}{2}: \cos\tfrac{\pi}{2}=0,\\ \sin\tfrac{\pi}{2}=1 então F\big(\tfrac{\pi}{2}\big)\cdot G\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=\tfrac{\pi}{2}\cdot0+\big(\tfrac{\pi}{2}\big)^{2}\cdot1+\tfrac{\pi}{2}=\big(\tfrac{\pi}{2}\big)^{2}+\tfrac{\pi}{2}.

Resposta

t\cos t + t^{2}\sin t + t

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