Apresente as derivadas direcionais das seguintes funções no ponto
indicado e na direção do vetor
:
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- Pede: a derivada direcional de
no ponto na direção do vetor . - Dados:
Passo 2
O que é a derivada direcional (explicação didática, sem pular etapas).
- Intuição: a derivada direcional de
em na direção de um vetor mede a taxa de variação instantânea de quando nos movemos a partir de nessa direção. É como perguntar: se eu andar um passinho na direção , quanto muda por unidade de comprimento nessa direção? - Fórmula prática e por que usamos: para funções diferenciáveis, a derivada direcional na direção de um vetor unitário
é o produto escalar entre o gradiente de em e : Aqui é o vetor das derivadas parciais de em , e é o vetor direção normalizado (de comprimento ). - Por que normalizar? Se não normalizarmos, o valor dependeria do tamanho do vetor escolha (andar 2 metros em vez de 1 dobra a variação). Queremos a taxa por unidade de deslocamento, por isso usamos vetor unitário.
Passo 3
Como calcular
: derivadas parciais (aula rápida sobre regra da cadeia aplicada aqui).
-
Regra geral: a derivada parcial
é a derivada de em relação a tratando como constantes. Quando temos composições como , usamos a regra da cadeia: derivada de é vezes derivada do argumento em relação a , que é . -
Aplicando isso termo a termo em
: Derivada parcial em relação a: Derivada parcial em relação a: -
dá (regra da cadeia, derivada do argumento em relação a é ). -
dá (regra da cadeia, derivada de em relação a é ). -
não depende de .
Então
Derivada parcial em relação a: -
não depende de . -
dá . -
dá .
Então
-
Passo 4
Avaliar as derivadas parciais em
.
- Primeiro calcule valores intermediários que aparecem:
, então . E , então . - Agora avalie cada parcial:
- Portanto o gradiente em
é
Passo 5
Normalizar o vetor direção
.
- O vetor dado é
. - Norma (comprimento) de
: - Logo o vetor unitário correspondente é
Passo 6
Calcular a derivada direcional pelo produto escalar.
- Usamos a fórmula
- Substituindo os vetores:
- Faça o produto escalar explícito (passo a passo):
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
. - Terceiro termo:
. - Soma:
.
- Primeiro termo:
Passo 7
Interpretação rápida e incentivo.
- Resultado: a taxa de variação de
em na direção de (por unidade de comprimento) é . - Você fez um ótimo passo a passo: derivadas parciais (regra da cadeia), montar o gradiente, normalizar a direção e fazer produto escalar. Dá pra aplicar isso em qualquer função semelhante — pratique com funções menores se quiser ganhar confiança!