Apresente as derivadas direcionais das seguintes funções no ponto P indicado e na direção do vetor \vec{u} :
f(x, y, z)=\cos (x y)+e^{y z}+\ln (z), P\left(1,0, \frac{1}{2}\right), \vec{u}=\vec{i}+2 \vec{j}+2 \vec{k}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pede: a derivada direcional de f no ponto P na direção do vetor \vec{u}.
  • Dados: f(x,y,z)=\cos(xy)+e^{yz}+\ln(z),
P\!\left(1,0,\tfrac{1}{2}\right),
\vec{u}=\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k}.

Passo 2

O que é a derivada direcional (explicação didática, sem pular etapas).
  • Intuição: a derivada direcional de f em P na direção de um vetor \vec{v} mede a taxa de variação instantânea de f quando nos movemos a partir de P nessa direção. É como perguntar: se eu andar um passinho na direção \vec{v}, quanto f muda por unidade de comprimento nessa direção?
  • Fórmula prática e por que usamos: para funções diferenciáveis, a derivada direcional na direção de um vetor unitário \hat{\vec{u}} é o produto escalar entre o gradiente de f em P e \hat{\vec{u}}: D_{\hat{\vec{u}}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\hat{\vec{u}}.Aqui \nabla f(P) é o vetor das derivadas parciais de f em P, e \hat{\vec{u}} é o vetor direção normalizado (de comprimento 1).
  • Por que normalizar? Se não normalizarmos, o valor dependeria do tamanho do vetor escolha (andar 2 metros em vez de 1 dobra a variação). Queremos a taxa por unidade de deslocamento, por isso usamos vetor unitário.

Passo 3

Como calcular \nabla f: derivadas parciais (aula rápida sobre regra da cadeia aplicada aqui).
  • Regra geral: a derivada parcial \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada de f em relação a x tratando y,z como constantes. Quando temos composições como \cos(xy), usamos a regra da cadeia: derivada de \cos(\cdot) é -\sin(\cdot) vezes derivada do argumento (xy) em relação a x, que é y.
  • Aplicando isso termo a termo em f(x,y,z)=\cos(xy)+e^{yz}+\ln(z):
    Derivada parcial em relação a x:
    \frac{\partial f}{\partial x}=-y\sin(xy).
    Derivada parcial em relação a y:
    • \cos(xy) -x\sin(xy) (regra da cadeia, derivada do argumento xy em relação a y é x).
    • e^{yz} z e^{yz} (regra da cadeia, derivada de yz em relação a y é z).
    • \ln(z) não depende de y.
      Então
    \frac{\partial f}{\partial y}=-x\sin(xy)+z e^{yz}.
    Derivada parcial em relação a z:
    • \cos(xy) não depende de z.
    • e^{yz} y e^{yz}.
    • \ln(z) \dfrac{1}{z}.
      Então
    \frac{\partial f}{\partial z}=y e^{yz}+\frac{1}{z}.

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais em P\!\left(1,0,\tfrac{1}{2}\right).
  • Primeiro calcule valores intermediários que aparecem: xy=1\cdot 0=0, então \sin(xy)=\sin(0)=0. E yz=0\cdot\tfrac{1}{2}=0, então e^{yz}=e^0=1.
  • Agora avalie cada parcial: \frac{\partial f}{\partial x}(P)=-y\sin(xy)=-0\cdot 0=0.
\frac{\partial f}{\partial y}(P)=-x\sin(xy)+z e^{yz}=-1\cdot 0+\tfrac{1}{2}\cdot 1=\tfrac{1}{2}.
\frac{\partial f}{\partial z}(P)=y e^{yz}+\frac{1}{z}=0\cdot 1+\frac{1}{1/2}=2.
  • Portanto o gradiente em P é \nabla f(P)=\left(0,\tfrac{1}{2},2\right).

Passo 5

Normalizar o vetor direção \vec{u}.
  • O vetor dado é \vec{u}=(1,2,2).
  • Norma (comprimento) de \vec{u}: \|\vec{u}\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3.
  • Logo o vetor unitário correspondente é \hat{\vec{u}}=\frac{1}{3}\big(1,2,2\big)=\left(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\right).

Passo 6

Calcular a derivada direcional pelo produto escalar.
  • Usamos a fórmula D_{\hat{\vec{u}}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\hat{\vec{u}}.
  • Substituindo os vetores: D_{\hat{\vec{u}}}f(P)=\left(0,\tfrac{1}{2},2\right)\cdot\left(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\right).
  • Faça o produto escalar explícito (passo a passo):
    • Primeiro termo: 0\cdot \tfrac{1}{3}=0.
    • Segundo termo: \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}.
    • Terceiro termo: 2\cdot \tfrac{2}{3}=\tfrac{4}{3}.
    • Soma: 0+\tfrac{1}{3}+\tfrac{4}{3}=\tfrac{5}{3}.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo.
  • Resultado: a taxa de variação de f em P na direção de \vec{u} (por unidade de comprimento) é \tfrac{5}{3}.
  • Você fez um ótimo passo a passo: derivadas parciais (regra da cadeia), montar o gradiente, normalizar a direção e fazer produto escalar. Dá pra aplicar isso em qualquer função semelhante — pratique com funções menores se quiser ganhar confiança!

Resposta

\dfrac{5}{3}

Exercícios relacionados