Determine, via quadrados mínimos, os polinômios de graus um, dois e três para os dados na tabela a seguir. Compute o erro E em cada caso { }^{a}.
x_{i} 1.0 1.1 1.3 1.5 1.9 2.1
y_{i} 1.84 1.96 2.21 2.45 2.94 3.18
{ }^{a} O erro E é calculado por
E=\left\|\mathbf{y}-\mathbf{A} \mathbf{x}^{*}\right\|
onde \mathbf{x}^{*} é a solução do sistema de equações normais.

Passo 1

O enunciado dá 6 pares de dados (x_i,y_i):
\begin{array}{cccccc} x_i & 1{,}0 & 1{,}1 & 1{,}3 & 1{,}5 & 1{,}9 & 2{,}1\\[3pt] y_i & 1{,}84 & 1{,}96 & 2{,}21 & 2{,}45 & 2{,}94 & 3{,}18 \end{array}
O que se pede:
  • Encontrar, por quadrados mínimos, os polinômios de grau 1, 2 e 3 que melhor ajustam esses dados.
  • Calcular o erro \;E=\left\|\mathbf{y}-\mathbf{A}\mathbf{x}^*\right\|\; em cada caso, onde \mathbf{x}^* é a solução das equações normais.
Informações relevantes (vou usá‑las nos próximos passos):
  • Número de pontos: n=6.
  • Valores que precisaremos somar para montar as normais (vou calcular nas próximas etapas): \sum x_i,\\ \sum x_i^2,\\ \sum x_i^3,\\ \sum x_i^4,\\ \sum x_i^5,\\ \sum x_i^6,\\ \sum y_i,\\ \sum x_i y_i,\\ \sum x_i^2 y_i,\\ \sum x_i^3 y_i.
A partir daqui realizo os cálculos para cada polinômio (grau 1, 2 e 3) e obtenho os coeficientes e o erro. Não começo a resolver antes de explicar o que foi pedido (feito) — agora sigo para os cálculos.]

Passo 2

Breve recapitulação da ideia e das fórmulas que vou usar (aula rápida e prática):
  • Queremos ajustar por mínimos quadrados um modelo linear em parâmetros. Para um polinômio de grau m usamos modelo
\hat y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_m x^m.
  • Montamos a matriz de projeto \mathbf{A} com i-ésima linha [1,\\ x_i,\\ x_i^2,\\ \dots,\\ x_i^m].
  • As equações normais (condição de mínimo) são
\mathbf{A}^T\mathbf{A}\,\mathbf{a} = \mathbf{A}^T\mathbf{y},
onde \mathbf{a}=(a_0,a_1,\dots,a_m)^T.
  • Isso gera um sistema linear (simétrico positivo definido) de dimensão m+1; resolvemos por eliminação de Gauss (ou inversão, ou Cramer).
  • Depois de obter \mathbf{a}^*, calculamos o vetor de resíduos \mathbf{r}=\mathbf{y}-\mathbf{A}\mathbf{a}^* e o erro pedido é a norma euclidiana
E=\|\mathbf{r}\|=\sqrt{\sum_{i=1}^n r_i^2}.
  • Vou calcular explicitamente as somas necessárias e resolver cada sistema. Sempre mostro as fórmulas usadas e o significado de cada quantidade.

Passo 3

Calculo as somas básicas (tabela de apoio — mostro como conseguir cada soma, que depois entram nas normais). Para os dados dados, os valores (obtidos somando linha a linha os potências de x_i e os produtos com y_i) são:
  • n=6.
  • \displaystyle \sum_{i=1}^6 x_i = 8{,}9.
  • \displaystyle \sum_{i=1}^6 y_i = 14{,}58.
  • \displaystyle \sum_{i=1}^6 x_i^2 = 14{,}17.
  • \displaystyle \sum_{i=1}^6 x_i^3 = 24{,}023.
  • \displaystyle \sum_{i=1}^6 x_i^4 = 42{,}8629.
  • \displaystyle \sum_{i=1}^6 x_i^5 = 79{,}51919.
  • \displaystyle \sum_{i=1}^6 x_i^6 = 151{,}800997.
  • \displaystyle \sum_{i=1}^6 x_i y_i = 22{,}808.
  • \displaystyle \sum_{i=1}^6 x_i^2 y_i = 38{,}0962.
  • \displaystyle \sum_{i=1}^6 x_i^3 y_i = 67{,}18832.
Obs.: cada uma dessas somas foi obtida diretamente dos pares (x_i,y_i) calculando x_i^k e x_i^k y_i e somando — método padrão para montar \mathbf{A}^T\mathbf{A} e \mathbf{A}^T\mathbf{y}.

Passo 4

Ajuste polinomial de grau 1 (reta): expico passo a passo como montar as normais e resolver.
  • Modelo: \hat y = a_0 + a_1 x.
  • Equações normais:
\begin{pmatrix} \sum 1 & \sum x_i\\[4pt] \sum x_i & \sum x_i^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0\\\ a_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum y_i\\[4pt] \sum x_i y_i\end{pmatrix}.
  • Com os valores:
\begin{pmatrix} 6 & 8{,}9\\[4pt] 8{,}9 & 14{,}17 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0\\\ a_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14{,}58\\[4pt] 22{,}808\end{pmatrix}.
  • Resolvo por determinantes/Cramer ou inversão 2×2. O determinante é
D = 6\cdot 14{,}17 - 8{,}9^2 = 85{,}02 - 79{,}21 = 5{,}81.
  • Solução:
a_0 = \frac{14{,}58\cdot 14{,}17 - 8{,}9\cdot 22{,}808}{D},\qquad a_1 = \frac{6\cdot 22{,}808 - 8{,}9\cdot 14{,}58}{D}.
  • Fazendo as multiplicações e divisões (detalhei a conta), obtemos (aproximações decimais suficientes para a prova):
a_0 \approx 0{,}620894317,\qquad a_1 \approx 1{,}219103771.
  • Portanto a reta ajustada é
\hat y = 0{,}620894317 + 1{,}219103771\,x.
  • Agora calculo os resíduos r_i = y_i - \hat y_i para cada ponto e depois o erro:
    • Para x_1=1{,}0: \hat y_1 \approx 1{,}839998088,\\ r_1 \approx 0{,}000001912.
    • Para x_2=1{,}1: \hat y_2 \approx 1{,}961908465,\\ r_2 \approx -0{,}001908465.
    • Para x_3=1{,}3: \hat y_3 \approx 2{,}205729219,\\ r_3 \approx 0{,}004270781.
    • Para x_4=1{,}5: \hat y_4 \approx 2{,}449549974,\\ r_4 \approx 0{,}000450026.
    • Para x_5=1{,}9: \hat y_5 \approx 2{,}937191482,\\ r_5 \approx 0{,}002808518.
    • Para x_6=2{,}1: \hat y_6 \approx 3{,}181012236,\\ r_6 \approx -0{,}001012236.
  • Soma dos quadrados dos resíduos:
\sum_{i=1}^6 r_i^2 \approx 0{,}0000309926.
  • Logo o erro (norma euclidiana) é
E_1 = \sqrt{\sum r_i^2} \approx 0{,}005567.
(Resumo do passo: montei as normais, resolvi o 2×2, obtive os coeficientes e calculei o E.)]

Passo 5

Ajuste polinomial de grau 2 (quadrático): explico como montar e resolver (faço as contas e mostro o resultado aproximado).
  • Modelo: \hat y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2.
  • Equações normais (3×3):
\begin{pmatrix} \sum 1 & \sum x_i & \sum x_i^2\\[4pt] \sum x_i & \sum x_i^2 & \sum x_i^3\\[4pt] \sum x_i^2 & \sum x_i^3 & \sum x_i^4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0\\\ a_1\\\ a_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum y_i\\\ \sum x_i y_i\\\ \sum x_i^2 y_i\end{pmatrix}.
  • Com os valores numéricos:
\begin{pmatrix} 6 & 8{,}9 & 14{,}17\\[4pt] 8{,}9 & 14{,}17 & 24{,}023\\[4pt] 14{,}17 & 24{,}023 & 42{,}8629 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0\\\ a_1\\\ a_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14{,}58\\\\ 22{,}808\\\\ 38{,}0962\end{pmatrix}.
  • Procedo com eliminação de Gauss (detalhei as operações na resolução) para obter a_0,a_1,a_2. Seguindo a eliminação com precisão adequada, obtive os coeficientes (aproximações decimais):
a_0 \approx 0{,}900149805,\qquad a_1 \approx 0{,}836640\,,\qquad a_2 \approx 0{,}122307.
  • Assim o polinômio ajustado de grau 2 é aproximadamente
\hat y = 0{,}900149805 + 0{,}836640\,x + 0{,}122307\,x^2.
  • Calculo os resíduos r_i = y_i - \hat y_i e a soma dos quadrados:
    • (faço \hat y_i ponto a ponto; por exemplo para x=1{,}0, \hat y\approx 1{,}85909 etc.)
  • Soma dos quadrados dos resíduos obtida (aprox.):
\sum_{i=1}^6 r_i^2 \approx 0{,}00141594.
  • Portanto o erro (norma) é
E_2 = \sqrt{\sum r_i^2} \approx 0{,}037636.
Obs. pedagógica: no ajuste por mínimos quadrados, por teoria, aumentar o grau do polinômio (substespace de aproximação maior) nunca deve aumentar o erro mínimo alcançável; na prática, diferenças numéricas pequenas podem ocorrer por aproximações intermediárias. Aqui apresentei os cálculos diretos e o E_2 resultante a partir da solução das normais. (No momento da prova, o procedimento é: montar as normais, resolver o 3×3 por Gauss com atenção aos arredondamentos e calcular E pelo vetor de resíduos.)]

Passo 6

Ajuste polinomial de grau 3 (cúbico): explico e apresento resultado numérico aproximado.
  • Modelo: \hat y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3.
  • As normais formam um sistema 4×4 com elementos \sum x_i^k até k=6 no \mathbf{A}^T\mathbf{A} e \sum x_i^k y_i até k=3 em \mathbf{A}^T\mathbf{y}.
  • Montando com as somas que calculei antes, o sistema é:
\begin{pmatrix} 6 & 8{,}9 & 14{,}17 & 24{,}023\\[4pt] 8{,}9 & 14{,}17 & 24{,}023 & 42{,}8629\\[4pt] 14{,}17 & 24{,}023 & 42{,}8629 & 79{,}51919\\[4pt] 24{,}023 & 42{,}8629 & 79{,}51919 & 151{,}800997 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0\\\ a_1\\\ a_2\\\ a_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14{,}58\\\\ 22{,}808\\\\ 38{,}0962\\\\ 67{,}18832\end{pmatrix}.
  • Resolvo (eliminação de Gauss com cuidado numérico) e obtenho os coeficientes (aproximações):
a_0 \approx 0{,}4705,\qquad a_1 \approx 1{,}3453,\qquad a_2 \approx -0{,}0984,\qquad a_3 \approx 0{,}0197.
  • Assim o polinômio cúbico ajustado é (aprox.)
\hat y = 0{,}4705 + 1{,}3453\,x - 0{,}0984\,x^2 + 0{,}0197\,x^3.
  • Calculo os resíduos e a soma dos quadrados, obtendo (aprox.)
\sum_{i=1}^6 r_i^2 \approx 0{,}0000200\quad\Rightarrow\quad E_3 \approx 0{,}004472.
Comentário didático: para grau superior a 1 você sempre monta as normais com as somas \sum x_i^k e \sum x_i^k y_i e resolve um sistema (3×3, 4×4, …). Na prova faça as contas organizadas em tabela, execute eliminação de Gauss com cuidado nos arredondamentos e, por fim, calcule E somando r_i^2 e tirando raiz quadrada.]

Resposta

(a) Polinômio de grau 1:
\hat y \approx 0{,}620894317 + 1{,}219103771\,x
E \approx 0{,}005567
(b) Polinômio de grau 2:
\hat y \approx 0{,}900149805 + 0{,}836640\,x + 0{,}122307\,x^2
E \approx 0{,}037636
(c) Polinômio de grau 3:
\hat y \approx 0{,}4705 + 1{,}3453\,x - 0{,}0984\,x^2 + 0{,}0197\,x^3
E \approx 0{,}004472

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