Prove, pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.
f(x)=\sqrt[3]{x^{2}+2} em x=-5

Passo 1

O enunciado pede: provar, pela definição (epsilon-delta), que a função f dada é contínua no ponto x=-5.
Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=\sqrt[3]{x^{2}+2}=\bigl(x^{2}+2\bigr)^{1/3}.
  • O ponto onde queremos continuidade é x=-5.
O que precisamos mostrar (definição de continuidade no ponto): para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que |x-(-5)|<\delta (ou seja, |x+5|<\delta), então |f(x)-f(-5)|<\varepsilon.
Antes de começar, calculemos o valor da função no ponto:
f(-5)=\sqrt[3]{(-5)^{2}+2}=\sqrt[3]{25+2}=\sqrt[3]{27}=3.

Passo 2

Vou escrever claramente o objetivo em termos de epsilon-delta: dado \varepsilon>0 quero encontrar \delta>0 tal que
|x+5|<\delta \quad\Longrightarrow\quad \bigl|f(x)-3\bigr|<\varepsilon.
Para controlar \bigl|f(x)-3\bigr| vou usar uma identidade algébrica útil (a diferença de cubos). Defina
a=f(x)=\bigl(x^{2}+2\bigr)^{1/3},\qquad b=3.
Então a^{3}=x^{2}+2 e b^{3}=27, e a diferença de cubos dá
a^{3}-b^{3}=x^{2}+2-27=x^{2}-25.
A identidade a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}) implica
a-b=\frac{a^{3}-b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}=\frac{x^{2}-25}{a^{2}+ab+b^{2}}.
Tomando módulo,
\bigl|f(x)-3\bigr|=\frac{\bigl|x^{2}-25\bigr|}{a^{2}+ab+b^{2}}.

Passo 3

Observações úteis para estimar o denominador a^{2}+ab+b^{2}:
  • Como a=\sqrt[3]{x^{2}+2} e x^{2}+2>0 para todo x, tem-se a>0.
  • Portanto a^{2}+ab+b^{2}\ge b^{2}=3^{2}=9, porque a^{2}\ge0 e ab\ge0.
Assim obtemos a desigualdade simples e prática
\bigl|f(x)-3\bigr|\le\frac{\bigl|x^{2}-25\bigr|}{9}.

Passo 4

Agora manipulemos \bigl|x^{2}-25\bigr|. Note que
\bigl|x^{2}-25\bigr|=\bigl|x-5\bigr|\cdot\bigl|x+5\bigr|.
Queremos controlar isso por uma constante vezes |x+5|. Para isso, restringimos x a ficar perto de -5. Escolha um número simples, por exemplo limite \delta\le1. Se |x+5|<1 então x\in(-6,-4). Para tais x vale
\bigl|x-5\bigr|=\bigl|(x+5)-10\bigr|\le\bigl|x+5\bigr|+10<1+10=11.
Logo, quando |x+5|<1,
\bigl|x^{2}-25\bigr|=\bigl|x-5\bigr|\cdot\bigl|x+5\bigr|<11\bigl|x+5\bigr|.
Substituindo na desigualdade do passo anterior,
\bigl|f(x)-3\bigr|\le\frac{\bigl|x^{2}-25\bigr|}{9}<\frac{11}{9}\bigl|x+5\bigr|.

Passo 5

Agora fica fácil escolher \delta em função de \varepsilon. Queremos garantir \bigl|f(x)-3\bigr|<\varepsilon. A desigualdade do passo anterior mostra que é suficiente ter
\frac{11}{9}\bigl|x+5\bigr|<\varepsilon,
ou seja,
\bigl|x+5\bigr|<\frac{9}{11}\varepsilon.
Portanto, uma escolha válida é tomar
\delta=\min\!\left\{1,\frac{9}{11}\varepsilon\right\}.
Com essa escolha, sempre que |x+5|<\delta teremos primeiro |x+5|<1 (logo as estimativas anteriores valem) e também |x+5|<\dfrac{9}{11}\varepsilon, portanto
\bigl|f(x)-3\bigr|<\frac{11}{9}\bigl|x+5\bigr|<\frac{11}{9}\cdot\frac{9}{11}\varepsilon=\varepsilon.
Isto mostra exatamente a condição de continuidade segundo a definição epsilon-delta.

Passo 6

Conclusão clara: para todo \varepsilon>0 escolhemos \delta=\min\!\left\{1,\dfrac{9}{11}\varepsilon\right\}. Com isso, |x+5|<\delta implica |f(x)-3|<\varepsilon. Portanto \lim_{x\to-5} f(x)=f(-5) e a função é contínua em x=-5.

Resposta

A função f(x)=\sqrt[3]{x^{2}+2} é contínua em x=-5.

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