Prove, pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado. f(x)=\sqrt[3]{x^{2}+2} em x=-5
Passo 1
O enunciado pede: provar, pela definição (epsilon-delta), que a função f dada é contínua no ponto x=-5.
Informações fornecidas:
A função é f(x)=\sqrt[3]{x^{2}+2}=\bigl(x^{2}+2\bigr)^{1/3}.
O ponto onde queremos continuidade é x=-5.
O que precisamos mostrar (definição de continuidade no ponto): para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que |x-(-5)|<\delta (ou seja, |x+5|<\delta), então |f(x)-f(-5)|<\varepsilon.
Antes de começar, calculemos o valor da função no ponto:
Queremos controlar isso por uma constante vezes |x+5|. Para isso, restringimos x a ficar perto de -5. Escolha um número simples, por exemplo limite \delta\le1. Se |x+5|<1 então x\in(-6,-4). Para tais x vale
Agora fica fácil escolher \delta em função de \varepsilon. Queremos garantir \bigl|f(x)-3\bigr|<\varepsilon. A desigualdade do passo anterior mostra que é suficiente ter
Com essa escolha, sempre que |x+5|<\delta teremos primeiro |x+5|<1 (logo as estimativas anteriores valem) e também |x+5|<\dfrac{9}{11}\varepsilon, portanto
Isto mostra exatamente a condição de continuidade segundo a definição epsilon-delta.
Passo 6
Conclusão clara: para todo \varepsilon>0 escolhemos \delta=\min\!\left\{1,\dfrac{9}{11}\varepsilon\right\}. Com isso, |x+5|<\delta implica |f(x)-3|<\varepsilon. Portanto \lim_{x\to-5} f(x)=f(-5) e a função é contínua em x=-5.
Resposta
A função f(x)=\sqrt[3]{x^{2}+2} é contínua em x=-5.