Prove, pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.
em
Passo 1
O enunciado pede que se prove, pela definição (epsilon‑delta), que a função
é contínua no ponto
.
Informações dadas e cálculo imediato que vamos usar:
- A função é
com e . - O valor da função no ponto é
- O objetivo final: mostrar que para todo
existe tal que, sempre que , tenha-se .
Passo 2
Escrevemos a diferença a controlar em uma forma que permita estimativas fáceis. Usando
e
como acima,
Aplicando a desigualdade triangular ao numerador e dividindo pelo módulo do denominador obtemos
Aqui
e
. Vamos agora encontrar estimativas superiores para os termos à direita que dependam de
.
Passo 3
Primeiro, garantimos que
não fique perto de zero: escolha um pequeno intervalo ao redor de
. Se impusermos
então
e
Isto implica
Portanto, sempre que
temos a desigualdade útil
Passo 4
Agora estimamos
em termos de
. Use a identidade da diferença de cubos com
e
:
Daí
Se tomarmos novamente
então
e, como
, segue que
. Logo
Portanto, para
vale
Passo 5
Voltemos à desigualdade do Passo 2 e usemos as estimativas obtidas. Para
temos
,
e
, então
Substituindo as estimativas:
e
Somando ambos os termos obtemos
Passo 6
Somemos as frações explicitamente. Um denominador comum é
. Assim
Portanto, para
temos a estimativa simples
Passo 7
Agora venha a escolha do
. Dado um
, escolha
Se
então, já que
, valem todas as estimativas anteriores e obtemos
Isto mostra exatamente a condição epsilon‑delta da continuidade em
.
Resposta
A função é contínua em
.