Prove, pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.
f(x)=\frac{\sqrt[3]{x}}{2 x+1} em x=8

Passo 1

O enunciado pede que se prove, pela definição (epsilon‑delta), que a função
f(x)=\frac{\sqrt[3]{x}}{2x+1}
é contínua no ponto x=8.
Informações dadas e cálculo imediato que vamos usar:
  • A função é f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)} com g(x)=\sqrt[3]{x} e h(x)=2x+1.
  • O valor da função no ponto é
f(8)=\frac{\sqrt[3]{8}}{2\cdot 8+1}=\frac{2}{17}.
  • O objetivo final: mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que |x-8|<\delta, tenha-se |f(x)-f(8)|<\varepsilon.

Passo 2

Escrevemos a diferença a controlar em uma forma que permita estimativas fáceis. Usando g e h como acima,
\left|f(x)-f(8)\right| = \left|\frac{g(x)}{h(x)}-\frac{g(8)}{h(8)}\right| = \left|\frac{h(8)\bigl(g(x)-g(8)\bigr)-g(8)\bigl(h(x)-h(8)\bigr)}{h(x)h(8)}\right|.
Aplicando a desigualdade triangular ao numerador e dividindo pelo módulo do denominador obtemos
\left|f(x)-f(8)\right| \le \frac{|h(8)|\,|g(x)-g(8)|+|g(8)|\,|h(x)-h(8)|}{|h(x)|\,|h(8)|}.
Aqui g(8)=2 e h(8)=17. Vamos agora encontrar estimativas superiores para os termos à direita que dependam de |x-8|.

Passo 3

Primeiro, garantimos que h(x) não fique perto de zero: escolha um pequeno intervalo ao redor de 8. Se impusermos
|x-8|<1,
então x\in(7,9) e
|h(x)-h(8)|=|2x+1-17|=2|x-8|<2.
Isto implica
|h(x)|\ge |h(8)|-|h(x)-h(8)|\ge 17-2=15.
Portanto, sempre que |x-8|<1 temos a desigualdade útil
|h(x)|\ge 15.

Passo 4

Agora estimamos |g(x)-g(8)| em termos de |x-8|. Use a identidade da diferença de cubos com a=g(x)=\sqrt[3]{x} e b=g(8)=2:
x-8=a^3-b^3=(a-b)\bigl(a^2+ab+b^2\bigr).
Daí
|g(x)-g(8)|=\frac{|x-8|}{a^2+ab+b^2}.
Se tomarmos novamente |x-8|<1 então x\in(7,9) e, como 1^3=1<7, segue que a=\sqrt[3]{x}>1. Logo
a^2+ab+b^2 \ge 1 + 1\cdot 2 + 4 = 7.
Portanto, para |x-8|<1 vale
|g(x)-g(8)|\le \frac{|x-8|}{7}.

Passo 5

Voltemos à desigualdade do Passo 2 e usemos as estimativas obtidas. Para |x-8|<1 temos |h(x)|\ge 15, |g(8)|=2 e |h(8)|=17, então
\left|f(x)-f(8)\right| \le \frac{|g(x)-g(8)|}{|h(x)|}+\frac{|g(8)|\,|h(x)-h(8)|}{|h(x)|\,|h(8)|}.
Substituindo as estimativas:
\frac{|g(x)-g(8)|}{|h(x)|}\le \frac{1}{15}\cdot\frac{|x-8|}{7}=\frac{|x-8|}{105},
e
\frac{|g(8)|\,|h(x)-h(8)|}{|h(x)|\,|h(8)|}\le \frac{2\cdot 2|x-8|}{15\cdot 17}=\frac{4|x-8|}{255}.
Somando ambos os termos obtemos
\left|f(x)-f(8)\right| \le \frac{|x-8|}{105}+\frac{4|x-8|}{255}.

Passo 6

Somemos as frações explicitamente. Um denominador comum é 1785=105\cdot 17=255\cdot 7. Assim
\frac{1}{105}+\frac{4}{255}=\frac{17}{1785}+\frac{28}{1785}=\frac{45}{1785}=\frac{3}{119}.
Portanto, para |x-8|<1 temos a estimativa simples
\left|f(x)-f(8)\right|\le \frac{3}{119}\,|x-8|.

Passo 7

Agora venha a escolha do \delta. Dado um \varepsilon>0, escolha
\delta=\min\!\left(1,\;\frac{119}{3}\varepsilon\right).
Se |x-8|<\delta então, já que \delta\le 1, valem todas as estimativas anteriores e obtemos
\left|f(x)-f(8)\right|\le \frac{3}{119}\,|x-8|<\frac{3}{119}\cdot\frac{119}{3}\varepsilon=\varepsilon.
Isto mostra exatamente a condição epsilon‑delta da continuidade em x=8.

Resposta

A função é contínua em x=8.

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