Apresente os enunciados dos dois teoremas fundamentais do cálculo que vimos em sala de aula. Lembrese: um deles diz respeito à integral definida de uma função f que tem primitiva F, e o outro sobre a derivação da “função área acumulada” F(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t.

Passo 1

O que o enunciado pede: apresentar os enunciados dos dois teoremas fundamentais do cálculo que vimos em aula. Ele já deu duas informações importantes que vou usar sem perguntar nada: (i) um teorema relaciona a integral definida de uma função \,f\, que tem primitiva \,F\,; (ii) o outro trata da derivação da função “área acumulada” definida por \;F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt\;.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vou usar: a presença da função \,f, a primitiva \,F (ou seja, uma função cuja derivada é \,f), e a função acumulada \;x\mapsto\int_a^x f(t)\,dt.

Passo 2

Enunciado formal do primeiro teorema (forma usual):
Seja \,f\colon[a,b]\to\mathbb{R}\, integrável em [a,b]. Se \,F\, é uma primitiva de \,f em [a,b] (isto é, \,F'(x)=f(x) para todo x\in[a,b]), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Explicação das palavras usadas na fórmula:
  • “Integrável em [a,b]” significa que a integral de Riemann \int_a^b f existe (ou seja, as somas de Riemann têm limite).
  • “Primitiva” quer dizer exatamente que a derivada de \,F é \,f: \,F'(x)=f(x) para todo x do intervalo.
    Intuição do porquê isto vale (resumido passo a passo): considere uma partição a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b. Para cada subintervalo [x_{i-1},x_i], pelo Teorema do Valor Médio para derivadas existe c_i\in[x_{i-1},x_i] tal que
F(x_i)-F(x_{i-1}) = F'(c_i)\,(x_i-x_{i-1}) = f(c_i)\,(x_i-x_{i-1}).
Somando para i=1 até n obtém-se
F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^n f(c_i)\,(x_i-x_{i-1}),
que é exatamente uma soma de Riemann de f. Fazendo a norma da partição tender a zero, essa soma de Riemann converge para \int_a^b f(x)\,dx, logo \int_a^b f = F(b)-F(a).

Passo 3

Enunciado formal do segundo teorema (forma usuosa sobre a função acumulada):
Seja \,f\colon[a,b]\to\mathbb{R}\, integrável em [a,b]. Defina a função acumulada
G(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt,\qquad x\in[a,b].
Então G é contínua em [a,b]. Além disso, se f é contínua em um ponto x_0\in[a,b], então G é diferenciável em x_0 e
G'(x_0)=f(x_0).
Se f é contínua em todo [a,b], então G é diferenciável em todo [a,b] e G'(x)=f(x) para todo x\in[a,b].

Passo 4

Demonstração curta e didática do segundo teorema (passo a passo usando a definição de derivada):
Queremos calcular
G'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{G(x+h)-G(x)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h} f(t)\,dt.
Se f é contínua em x, então para t próximos de x temos f(t)\approx f(x). Mais formalmente: dado \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que |f(t)-f(x)|<\varepsilon sempre que |t-x|<\delta. Para |h|<\delta temos
\left|\frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t)\,dt - f(x)\right| = \left|\frac{1}{h}\int_x^{x+h} (f(t)-f(x))\,dt\right| \le \frac{1}{|h|}\int_x^{x+h} |f(t)-f(x)|\,dt < \varepsilon.
Isso mostra que o quociente diferencial tende a f(x) quando h\to0, portanto G'(x)=f(x). A continuidade de G vem do fato de que integrais em intervalos pequenos são pequenas (estimativa por módulo).

Passo 5

Observações práticas para a prova (como usar os teoremas rapidamente):
  • Para calcular uma integral definida \int_a^b f na prova, primeiro tente achar uma primitiva F de f. Se achar, aplique o primeiro teorema e calcule F(b)-F(a).
  • Se te pedirem a derivada de uma função do tipo x\mapsto\int_{a}^{g(x)} f(t)\,dt, use o segundo teorema combinado com a regra da cadeia: se H(x)=\int_a^{g(x)} f(t)\,dt então
H'(x)=f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x).
  • No caso de limites de integração que dependem nos dois extremos, H(x)=\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt, deriva-se usando:
H'(x)=f\bigl(v(x)\bigr)\,v'(x)-f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Essas fórmulas são aplicações diretas da propriedade \frac{d}{dx}\int_a^x f = f(x) e da regra da cadeia.

Passo 6

Exemplo rápido para fixar (mental):
  • Se \,f(x)=2x e F(x)=x^2 é primitiva, então \int_1^3 2x\,dx = F(3)-F(1)=9-1=8.
  • Se G(x)=\int_0^x \sin t\,dt, pelo segundo teorema G'(x)=\sin x. Se quiser \frac{d}{dx}\int_{0}^{x^2}\sin t\,dt então é \sin(x^2)\cdot 2x.

Resposta

Seja \,f\colon[a,b]\to\mathbb{R}\, integrável em [a,b]. Se \,F é uma primitiva de \,f em [a,b] (isto é, \,F'(x)=f(x) para todo x\in[a,b]), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Seja \,f\colon[a,b]\to\mathbb{R}\, integrável em [a,b] e defina G(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt. Então G é contínua em [a,b] e, se f é contínua em x_0, então G é diferenciável em x_0 com
G'(x_0)=f(x_0).

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