Use a integral tripla para determine o volume do sólido dado.
O sólido delimitado pelo cilindro elíptico 4 x^{2}+z=4 e pelos planos y=0, z=0 e y=z+2.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o volume do sólido limitado pelas superfícies abaixo. As informações dadas são:
  • Cilindro elíptico (dependente de x e z): 4x^{2}+z=4.
  • Plano inferior no eixo z: z=0.
  • Planos que limitam em y: y=0
e y=z+2.
Ou seja, o sólido E é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem as desigualdades impostas por essas superfícies; a tarefa é calcular o volume de E usando uma integral tripla.

Passo 2

Entendendo geometricamente as superfícies (isso ajuda a montar os limites da integral):
  • A equação \;4x^{2}+z=4\; pode ser escrita como \;z=4-4x^{2}\;. Para cada x fixo, essa equação dá um valor máximo de z. Note que não depende de y; por isso chamamos isso de um “cilindro” paralelo ao eixo y.
  • O plano z=0 é a base do sólido (chão).
  • Os planos em y são y=0 e y=z+2. Para cada ponto (x,z) fixo entre os limites em z, y varia de 0 até z+2.
Conclusão prática: para montar uma integral tripla, faz sentido usar a ordem dy\,dz\,dx (primeiro integrar em y, depois em z, por fim em x), porque os limites em y são funções simples de z e o limite superior de z é uma função de x.

Passo 3

Determinar os limites em x e z:
  • De \;z=4-4x^{2}\; e \;z\ge 0\; (pois o sólido está acima de z=0), temos
4-4x^{2}\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad 1-x^{2}\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\le 1.
Logo \;x\in[-1,1].
  • Para cada x fixo em [-1,1], z varia de \;z=0\; até \;z=4-4x^{2}.
  • Para cada par (x,z) nesses intervalos, y varia de \;y=0\; até \;y=z+2 (observe que, como z\ge0, temos z+2\ge2>0, então o limite superior em y é sempre maior que o inferior).

Passo 4

Escrever a integral tripla do volume V com os limites encontrados. O volume é
V=\iiint_{E} dV=\int_{x=-1}^{1}\int_{z=0}^{4-4x^{2}}\int_{y=0}^{z+2} dy\,dz\,dx.
Aqui explico o porquê dessa estrutura: a integral tripla soma pequenos volumes dV=dy\,dz\,dx sobre toda a região E. Primeiro integramos em y porque os limites em y são constantes em relação a y (dependem só de z), depois em z porque seus limites dependem só de x, e por fim em x com limites numéricos -1 e 1.

Passo 5

Calcular a integral interna em y:
\int_{y=0}^{z+2} dy = \bigl[y\bigr]_{0}^{z+2}=z+2.
Substituindo na integral, obtemos uma integral dupla:
V=\int_{x=-1}^{1}\int_{z=0}^{4-4x^{2}} (z+2)\,dz\,dx.

Passo 6

Agora integramos em z. Primeiro explico a fórmula usada: a primitiva de z é \tfrac{1}{2}z^{2} e a de 2 é 2z. Portanto,
\int_{0}^{4-4x^{2}} (z+2)\,dz = \left[\tfrac{1}{2}z^{2}+2z\right]_{0}^{4-4x^{2}} = \tfrac{1}{2}\bigl(4-4x^{2}\bigr)^{2} + 2\bigl(4-4x^{2}\bigr).

Passo 7

Simplificar a expressão obtida em função de x. Primeiro fator comum 4-4x^{2}=4(1-x^{2}). Então
\tfrac{1}{2}\bigl(4-4x^{2}\bigr)^{2} = \tfrac{1}{2}\bigl(4(1-x^{2})\bigr)^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 16(1-x^{2})^{2} = 8(1-x^{2})^{2},
e
2\bigl(4-4x^{2}\bigr)=8(1-x^{2}).
Somando:
8(1-x^{2})^{2}+8(1-x^{2})=8\bigl[(1-x^{2})^{2}+(1-x^{2})\bigr].
Expandindo para integrar facilmente:
(1-x^{2})^{2} = 1 - 2x^{2} + x^{4},
portanto
(1-x^{2})^{2}+(1-x^{2}) = 2 - 3x^{2} + x^{4},
e multiplicando por 8:
8\bigl(2 - 3x^{2} + x^{4}\bigr) = 16 - 24x^{2} + 8x^{4}.
Assim a integral em x fica
V=\int_{-1}^{1} \bigl(16 - 24x^{2} + 8x^{4}\bigr)\,dx.

Passo 8

Integrar em x. Vou calcular a primitiva termo a termo. As primitivas são:
  • \displaystyle \int 16\,dx = 16x.
  • \displaystyle \int -24x^{2}\,dx = -24\cdot \tfrac{x^{3}}{3} = -8x^{3}.
  • \displaystyle \int 8x^{4}\,dx = 8\cdot \tfrac{x^{5}}{5} = \tfrac{8}{5}x^{5}.
Portanto a primitiva completa é
F(x)=16x - 8x^{3} + \tfrac{8}{5}x^{5}.
Avaliamo-la de -1 a 1:
V = \bigl[16x - 8x^{3} + \tfrac{8}{5}x^{5}\bigr]_{-1}^{1}.

Passo 9

Calcular F(1) e F(-1):
  • F(1)=16(1)-8(1)+\tfrac{8}{5}(1)=16-8+\tfrac{8}{5}=8+\tfrac{8}{5}=\tfrac{40+8}{5}=\tfrac{48}{5}.
  • F(-1)=16(-1)-8(-1)^{3}+\tfrac{8}{5}(-1)^{5}=-16+8-\tfrac{8}{5}=-8-\tfrac{8}{5}=-\tfrac{48}{5}.
Então
V=F(1)-F(-1)=\tfrac{48}{5}-\bigl(-\tfrac{48}{5}\bigr)=\tfrac{96}{5}.

Passo 10

Interpretação final e checagem rápida: o volume é positivo e tem unidade de comprimento ao cubo; o valor em decimal é 19{,}2, o que bate com a simetria ímpar/par no polinômio (a função integranda era par, integrando de -1 a 1 deu fator 2 naturalmente).

Resposta

\displaystyle \frac{96}{5}

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