Use a integral tripla para determine o volume do sólido dado.
O sólido delimitado pelo cilindro elíptico
e pelos planos
e
.
O sólido delimitado pelo cilindro elíptico
Passo 1
O enunciado pede: determinar o volume do sólido limitado pelas superfícies abaixo. As informações dadas são:
- Cilindro elíptico (dependente de
e ): - Plano inferior no eixo
: - Planos que limitam em
:
e
Ou seja, o sólido
é o conjunto de pontos
que satisfazem as desigualdades impostas por essas superfícies; a tarefa é calcular o volume de
usando uma integral tripla.
Passo 2
Entendendo geometricamente as superfícies (isso ajuda a montar os limites da integral):
- A equação
pode ser escrita como . Para cada fixo, essa equação dá um valor máximo de . Note que não depende de ; por isso chamamos isso de um “cilindro” paralelo ao eixo . - O plano
é a base do sólido (chão). - Os planos em
são e . Para cada ponto fixo entre os limites em , varia de até .
Conclusão prática: para montar uma integral tripla, faz sentido usar a ordem
(primeiro integrar em
, depois em
, por fim em
), porque os limites em
são funções simples de
e o limite superior de
é uma função de
.
Passo 3
Determinar os limites em
e
:
- De
e (pois o sólido está acima de ), temos
Logo
.
-
Para cada
fixo em , varia de até . -
Para cada par
nesses intervalos, varia de até (observe que, como , temos , então o limite superior em é sempre maior que o inferior).
Passo 4
Escrever a integral tripla do volume
com os limites encontrados. O volume é
Aqui explico o porquê dessa estrutura: a integral tripla soma pequenos volumes
sobre toda a região
. Primeiro integramos em
porque os limites em
são constantes em relação a
(dependem só de
), depois em
porque seus limites dependem só de
, e por fim em
com limites numéricos
e
.
Passo 5
Calcular a integral interna em
:
Substituindo na integral, obtemos uma integral dupla:
Passo 6
Agora integramos em
. Primeiro explico a fórmula usada: a primitiva de
é
e a de
é
. Portanto,
Passo 7
Simplificar a expressão obtida em função de
. Primeiro fator comum
. Então
e
Somando:
Expandindo para integrar facilmente:
portanto
e multiplicando por
:
Assim a integral em
fica
Passo 8
Integrar em
. Vou calcular a primitiva termo a termo. As primitivas são:
-
. -
. -
.
Portanto a primitiva completa é
Avaliamo-la de
a
:
Passo 9
Calcular
e
:
Então
Passo 10
Interpretação final e checagem rápida: o volume é positivo e tem unidade de comprimento ao cubo; o valor em decimal é
, o que bate com a simetria ímpar/par no polinômio (a função integranda era par, integrando de
a
deu fator 2 naturalmente).