Calcule as integrais abaixo.
\int x \sqrt{x-1} \mathrm{~d} x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral indefinida
\int x \sqrt{x-1}\,\mathrm{d}x.
Informações dadas e observações importantes:
  • A função integranda é x\sqrt{x-1}.
  • Como aparece \sqrt{x-1}, a expressão é real para x\ge 1 (podemos trabalhar nesse domínio).
  • Queremos uma primitiva (integral indefinida), então o resultado virá com uma constante de integração C.

Passo 2

Estratégia informal: é conveniente eliminar a raiz usando uma mudança de variável que torne a raiz uma potência simples. Uma substituição natural é \,u=x-1, porque \sqrt{x-1}=\sqrt{u}=u^{1/2}. Vou usar essa substituição e depois integrar termo a termo.

Passo 3

Faço a substituição \,u=x-1.
Então
x = u+1
e
\mathrm{d}x = \mathrm{d}u.
Além disso, quando x\ge 1 temos u\ge 0, mas como é integral indefinida isso só reforça que a raiz é bem definida na transformação.

Passo 4

Substituo na integral:
\int x \sqrt{x-1}\,\mathrm{d}x = \int (u+1)\sqrt{u}\,\mathrm{d}u.
Agora transformo a raiz em potência:
(u+1)\sqrt{u} = (u+1)u^{1/2} = u^{3/2} + u^{1/2}.
Portanto a integral virou
\int \bigl(u^{3/2}+u^{1/2}\bigr)\,\mathrm{d}u.

Passo 5

Vou integrar termo a termo usando a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,\mathrm{d}u = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui os expoentes são n=\tfrac{3}{2} e n=\tfrac{1}{2}, ambos diferentes de -1, então podemos aplicar a regra.

Passo 6

Aplico a regra a cada termo.
Para u^{3/2}:
\int u^{3/2}\,\mathrm{d}u = \frac{u^{3/2+1}}{3/2+1} = \frac{u^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}u^{5/2}.
Para u^{1/2}:
\int u^{1/2}\,\mathrm{d}u = \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Somando e incluindo a constante C, obtemos
\frac{2}{5}u^{5/2}+\frac{2}{3}u^{3/2}+C.

Passo 7

Volto à variável original usando u=x-1. Assim a primitiva é
\frac{2}{5}(x-1)^{5/2}+\frac{2}{3}(x-1)^{3/2}+C.

Passo 8

Posso também escrever a resposta de forma mais compacta, factorizando (x-1)^{3/2}. Faço isso para deixar a expressão mais bonita:
\frac{2}{5}(x-1)^{5/2}+\frac{2}{3}(x-1)^{3/2} = (x-1)^{3/2}\!\left(\frac{2}{5}(x-1)+\frac{2}{3}\right).
Colocando sobre o mesmo denominador 15:
= (x-1)^{3/2}\!\left(\frac{6}{15}(x-1)+\frac{10}{15}\right) = \frac{2}{15}(x-1)^{3/2}\bigl(3(x-1)+5\bigr).
Finalmente
\frac{2}{15}(x-1)^{3/2}(3x+2)+C.

Passo 9

Verificação curta (derivando a forma factorizada para checar): seja
F(x)=\frac{2}{15}(3x+2)(x-1)^{3/2}.
Derivando com regra do produto e simplificando obtemos F'(x)=x(x-1)^{1/2}=x\sqrt{x-1}, que é a integranda original, então a primitiva está correta (mais uma constante C).

Resposta

\displaystyle \frac{2}{15}(3x+2)(x-1)^{3/2}+C

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