Calcule as integrais abaixo.
Passo 1
O problema pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações importantes:
- A função integranda é
. - Como aparece
, a expressão é real para (podemos trabalhar nesse domínio). - Queremos uma primitiva (integral indefinida), então o resultado virá com uma constante de integração
.
Passo 2
Estratégia informal: é conveniente eliminar a raiz usando uma mudança de variável que torne a raiz uma potência simples. Uma substituição natural é
, porque
. Vou usar essa substituição e depois integrar termo a termo.
Passo 3
Faço a substituição
.
Então
Então
e
Além disso, quando
temos
, mas como é integral indefinida isso só reforça que a raiz é bem definida na transformação.
Passo 4
Substituo na integral:
Agora transformo a raiz em potência:
Portanto a integral virou
Passo 5
Vou integrar termo a termo usando a regra de potência para integrais: para
,
Aqui os expoentes são
e
, ambos diferentes de
, então podemos aplicar a regra.
Passo 6
Aplico a regra a cada termo.
Para
:
Para
:
Somando e incluindo a constante
, obtemos
Passo 7
Volto à variável original usando
. Assim a primitiva é
Passo 8
Posso também escrever a resposta de forma mais compacta, factorizando
. Faço isso para deixar a expressão mais bonita:
Colocando sobre o mesmo denominador
:
Finalmente
Passo 9
Verificação curta (derivando a forma factorizada para checar): seja
Derivando com regra do produto e simplificando obtemos
, que é a integranda original, então a primitiva está correta (mais uma constante
).