Calcule as derivadas das funções abaixo e indique quais foram as técnicas de derivação utilizadas em cada item:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
e também requer que eu indique quais técnicas de diferenciação foram utilizadas.
Informações dadas: a expressão explícita de . Observação importante (útil para a prova): a função está definida apenas onde
, mas isso não impede calcular a derivada simbólica em qualquer ponto onde a função existe.
Informações dadas: a expressão explícita de
Passo 2
Escolha do método: é conveniente reescrever a função como produto, pois assim usamos regras básicas e evitamos muita álgebra:
onde
. Vou aplicar a Regra do Produto combinada com a Regra da Cadeia (chain rule). Mais abaixo eu mostro rapidamente a verificação por Regra do Quociente para conferir o resultado.
Passo 3
Lembrete (aula rápida) — Regra do Produto:
Se e
são funções diferenciáveis, então
Se
Aqui
e
. Vou precisar das derivadas de cada uma, que exigem a Regra da Cadeia.
Passo 4
Lembrete (aula rápida) — Regra da Cadeia:
Se , então
Se
Exemplos simples que usarei: a derivada de
é
; e a derivada de
é
.
Passo 5
Calcule
com
. Aplicando a Regra da Cadeia com
e
:
Expliquei: primeiro deriva-se a exponencial (fica a própria exponencial) e multiplica-se pela derivada do expoente
, que é
.
Passo 6
Calcule
com
. Use Regra da Cadeia com
e
. Sabemos que
. Então
Expliquei: deriva-se
em relação à sua entrada e multiplica-se pela derivada interna
.
Passo 7
Agora aplique a Regra do Produto (Passo 3) com os resultados dos Passos 5 e 6:
Substituindo:
Passo 8
Fatorando o que for comum para simplificar (estratégia útil na prova para obter forma compacta):
Esta é uma forma bem legível e prática para usar em questões rápidas. Em termos de seno e cosseno, usando
e
, obtém-se a forma equivalente
Passo 9
Verificação (opcional, útil na prova): aplicar a Regra do Quociente diretamente em
. A Regra do Quociente diz que, para
,
Aqui
com
e
com
(aqui também usei Regra da Cadeia). Substituindo:
que coincide com a forma obtida no Passo 8. Beleza — resultado verificado.
Passo 10
Resumo das técnicas usadas durante a resolução: Regra do Produto, Regra da Cadeia (para derivar
e
). Usei a Regra do Quociente apenas como verificação alternativa.
Resposta
Técnicas utilizadas: Regra do Produto e Regra da Cadeia (verificação feita também pela Regra do Quociente).