Calcule as derivadas das funções abaixo e indique quais foram as técnicas de derivação utilizadas em cada item:
f(x)=\frac{e^{2 x}}{\cos (2 x)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{e^{2x}}{\cos(2x)}
e também requer que eu indique quais técnicas de diferenciação foram utilizadas.
Informações dadas: a expressão explícita de f(x). Observação importante (útil para a prova): a função está definida apenas onde \cos(2x)\neq 0, mas isso não impede calcular a derivada simbólica em qualquer ponto onde a função existe.

Passo 2

Escolha do método: é conveniente reescrever a função como produto, pois assim usamos regras básicas e evitamos muita álgebra:
f(x)=e^{2x}\cdot\operatorname{sec}(2x),
onde \operatorname{sec}(2x)=\frac{1}{\cos(2x)}. Vou aplicar a Regra do Produto combinada com a Regra da Cadeia (chain rule). Mais abaixo eu mostro rapidamente a verificação por Regra do Quociente para conferir o resultado.

Passo 3

Lembrete (aula rápida) — Regra do Produto:
Se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)\,v(x)\big)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui u(x)=e^{2x} e v(x)=\operatorname{sec}(2x). Vou precisar das derivadas de cada uma, que exigem a Regra da Cadeia.

Passo 4

Lembrete (aula rápida) — Regra da Cadeia:
Se h(x)=g(\varphi(x)), então
h'(x)=g'(\varphi(x))\cdot\varphi'(x).
Exemplos simples que usarei: a derivada de e^{u(x)} é e^{u(x)}\cdot u'(x); e a derivada de \operatorname{sec}(u(x)) é \operatorname{sec}(u(x))\tan(u(x))\cdot u'(x).

Passo 5

Calcule u'(x) com u(x)=e^{2x}. Aplicando a Regra da Cadeia com u(x)=e^{w} e w(x)=2x:
u'(x)=\frac{d}{dx}e^{2x}=e^{2x}\cdot \frac{d}{dx}(2x)=e^{2x}\cdot 2=2e^{2x}.
Expliquei: primeiro deriva-se a exponencial (fica a própria exponencial) e multiplica-se pela derivada do expoente 2x, que é 2.

Passo 6

Calcule v'(x) com v(x)=\operatorname{sec}(2x). Use Regra da Cadeia com v(x)=\operatorname{sec}(w) e w(x)=2x. Sabemos que \frac{d}{dw}\operatorname{sec}(w)=\operatorname{sec}(w)\tan(w). Então
v'(x)=\operatorname{sec}(2x)\tan(2x)\cdot \frac{d}{dx}(2x)=\operatorname{sec}(2x)\tan(2x)\cdot 2=2\operatorname{sec}(2x)\tan(2x).
Expliquei: deriva-se \operatorname{sec} em relação à sua entrada e multiplica-se pela derivada interna 2.

Passo 7

Agora aplique a Regra do Produto (Passo 3) com os resultados dos Passos 5 e 6:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo:
f'(x)=\big(2e^{2x}\big)\operatorname{sec}(2x)+e^{2x}\big(2\operatorname{sec}(2x)\tan(2x)\big).

Passo 8

Fatorando o que for comum para simplificar (estratégia útil na prova para obter forma compacta):
f'(x)=2e^{2x}\operatorname{sec}(2x)+2e^{2x}\operatorname{sec}(2x)\tan(2x)=2e^{2x}\operatorname{sec}(2x)\big(1+\tan(2x)\big).
Esta é uma forma bem legível e prática para usar em questões rápidas. Em termos de seno e cosseno, usando \operatorname{sec}(2x)=\dfrac{1}{\cos(2x)} e \tan(2x)=\dfrac{\sin(2x)}{\cos(2x)}, obtém-se a forma equivalente
f'(x)=2e^{2x}\,\frac{\cos(2x)+\sin(2x)}{\cos^{2}(2x)}.

Passo 9

Verificação (opcional, útil na prova): aplicar a Regra do Quociente diretamente em \displaystyle f(x)=\frac{e^{2x}}{\cos(2x)}. A Regra do Quociente diz que, para \displaystyle \frac{p(x)}{q(x)},
\frac{d}{dx}\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{p' q - p q'}{q^{2}}.
Aqui p(x)=e^{2x} com p'(x)=2e^{2x} e q(x)=\cos(2x) com q'(x)=-2\sin(2x) (aqui também usei Regra da Cadeia). Substituindo:
f'(x)=\frac{2e^{2x}\cos(2x)-e^{2x}\big(-2\sin(2x)\big)}{\cos^{2}(2x)} =\frac{2e^{2x}\big(\cos(2x)+\sin(2x)\big)}{\cos^{2}(2x)},
que coincide com a forma obtida no Passo 8. Beleza — resultado verificado.

Passo 10

Resumo das técnicas usadas durante a resolução: Regra do Produto, Regra da Cadeia (para derivar e^{2x} e \operatorname{sec}(2x)). Usei a Regra do Quociente apenas como verificação alternativa.

Resposta

f'(x)=2e^{2x}\operatorname{sec}(2x)\big(1+\tan(2x)\big)
Técnicas utilizadas: Regra do Produto e Regra da Cadeia (verificação feita também pela Regra do Quociente).

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