Apresente um esboço das superfícies
:
Passo 1
O enunciado pede um esboço da superfície
onde
Informações dadas e pedido:
- A função é explicitamente
em termos de e : . - O pedido é produzir um esboço (ou descrição geométrica para desenhar) da superfície no espaço
.
Nada mais é fornecido; a tarefa é analisar a forma da superfície e explicar como esboçá‑la.
Passo 2
Domínio, ponto especial (vértice) e imagem (faixa de valores).
- Domínio: todos os pares
são permitidos, portanto . - Vértice: o valor máximo de
ocorre no ponto onde é mínimo. Como com igualdade em , o vértice está em . - Imagem (valores possíveis de
): como , tem-se . Logo a faixa é .
Conclusão: superfície com vértice eme estendendo-se para baixo (valores negativos de ).
Passo 3
Curvas de nível (contornos) — muito útil para esboçar.
- Curva de nível para um valor fixo
obtém-se resolvendo
- Isolando
:
- Observação: isso só faz sentido se
, isto é, . Para cada a curva de nível é um círculo centrado na origem de raio
Exemplos práticos (úteis para desenhar):
- Para
: círculo de raio (ponto na origem). - Para
: círculo de raio . - Para
: círculo de raio .
Portanto, projetando as curvas de nível no planoobtemos círculos concêntricos cuja etiqueta diminui (fica mais negativa) conforme o raio aumenta.
Passo 4
Seções planas (cortes verticais) para entender a forma tridimensional.
- Corte pelo plano
: reduz a superfície a
que é uma parábola no plano
com vértice em
e abrindo para baixo.
- Corte pelo plano
: reduz a
outra parábola idêntica no plano
.
- Corte pela reta
(plano que contém o eixo e a reta ): substituindo ,
Isto é uma parábola também, com “abertura” proporcional a
. Em todas as direções radiais a seção é uma parábola que abre para baixo. Essas parábolas mostram que a superfície é um paraboloide circular voltado para baixo.
Passo 5
Pontos concretos para plotar (ajuda prática no esboço).
Liste alguns pontos fáceis de calcular (usando a fórmula; todos os números estão em ):
Liste alguns pontos fáceis de calcular (usando a fórmula; todos os números estão em
Use esses pontos para marcar níveis de altura: por exemplo, o ponto
e
pertencem à curva de nível
que é um círculo de raio
.
Passo 6
Receita passo a passo para desenhar um esboço à mão (sem cálculo pesado).
- No plano
desenhe vários círculos concêntricos centrados na origem com raios . Etiquete cada círculo com o valor de correspondente: para raio o é . Ex.: raio ; raio . - Pense nesses círculos como “fatias” horizontais da superfície. À medida que o raio aumenta, a fatia fica mais baixa (valor de
mais negativo). - Sobre cada círculo imagine uma curva fechada paralela ao círculo deslocada na direção negativa do eixo
. Conecte suavemente essas fatias formando uma “tigela” invertida (um chapéu) com vértice em . - Para dar volume ao esboço, desenhe uma ou duas seções verticais (por exemplo pelas linhas
e ): elas aparecem como parábolas que abrem para baixo e ajudam a visualizar a curvatura. - Indique a direção positiva de
para cima e mostre que toda a superfície fica abaixo do plano .
Passo 7
Propriedades geométricas rápidas (interpretação física/geométrica):
- Superfície é um paraboloide circular invertido (ou seja, um paraboloide cujo eixo de simetria é o eixo
e que abre para baixo). - Simetria radial: a função depende apenas de
, portanto a superfície é invariante por rotações em torno do eixo . - Máximo global em
com valor ; não existe mínimo (tende a quando ).
Passo 8
Dica rápida para quem vai fazer esse tipo de esboço numa prova:
- Primeiro encontre vértice e faixa de
. - Faça curvas de nível (círculos), calcule alguns pontos com
para etiquetar alturas. - Faça duas seções principais (ex.:
e ) para ver as parábolas. - Conecte tudo formando uma superfície suave com simetria circular.
Isto é suficiente para um esboço correto e rápido.
Resposta
A superfície é um paraboloide circular invertido com vértice em
, simétrico em torno do eixo
, dado por
. As curvas de nível são círculos
para
(raio
), e as seções verticais por quaisquer planos que contenham o eixo
são parábolas que abrem para baixo.