Apresente um esboço das superfícies z=f(x, y) :
f(x, y)=-\left(x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede um esboço da superfície z=f(x,y) onde
f(x,y) = -\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
Informações dadas e pedido:
  • A função é explicitamente z em termos de x e y: z=-\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
  • O pedido é produzir um esboço (ou descrição geométrica para desenhar) da superfície no espaço (x,y,z).
    Nada mais é fornecido; a tarefa é analisar a forma da superfície e explicar como esboçá‑la.

Passo 2

Domínio, ponto especial (vértice) e imagem (faixa de valores).
  • Domínio: todos os pares (x,y) são permitidos, portanto \{(x,y)\mid x,y\in\mathbb{R}\} = \mathbb{R}^{2}.
  • Vértice: o valor máximo de z ocorre no ponto onde x^{2}+y^{2} é mínimo. Como x^{2}+y^{2}\ge 0 com igualdade em (0,0), o vértice está em (0,0,0).
  • Imagem (valores possíveis de z): como x^{2}+y^{2}\ge 0, tem-se z=-\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\le 0. Logo a faixa é \{z\mid z\le 0\}=(-\infty,0].
    Conclusão: superfície com vértice em (0,0,0) e estendendo-se para baixo (valores negativos de z).

Passo 3

Curvas de nível (contornos) — muito útil para esboçar.
  • Curva de nível para um valor fixo z=c obtém-se resolvendo
c = -\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
  • Isolando x^{2}+y^{2}:
x^{2}+y^{2} = -c.
  • Observação: isso só faz sentido se -c\ge 0, isto é, c\le 0. Para cada c\le 0 a curva de nível é um círculo centrado na origem de raio
r=\sqrt{-c}.
Exemplos práticos (úteis para desenhar):
  • Para c=0: círculo de raio 0 (ponto na origem).
  • Para c=-1: círculo de raio 1.
  • Para c=-4: círculo de raio 2.
    Portanto, projetando as curvas de nível no plano xy obtemos círculos concêntricos cuja etiqueta z diminui (fica mais negativa) conforme o raio aumenta.

Passo 4

Seções planas (cortes verticais) para entender a forma tridimensional.
  • Corte pelo plano y=0: reduz a superfície a
z = -x^{2},
que é uma parábola no plano y=0 com vértice em (0,0,0) e abrindo para baixo.
  • Corte pelo plano x=0: reduz a
z = -y^{2},
outra parábola idêntica no plano x=0.
  • Corte pela reta y=m x (plano que contém o eixo z e a reta y=mx): substituindo y=mx,
z = -\bigl(x^{2}+(m x)^{2}\bigr) = -\bigl(1+m^{2}\bigr)x^{2}.
Isto é uma parábola também, com “abertura” proporcional a 1+m^{2}. Em todas as direções radiais a seção é uma parábola que abre para baixo. Essas parábolas mostram que a superfície é um paraboloide circular voltado para baixo.

Passo 5

Pontos concretos para plotar (ajuda prática no esboço).
Liste alguns pontos fáceis de calcular (usando a fórmula; todos os números estão em \mathbb{R}):
(0,0,0),\quad (1,0,-1),\quad (0,1,-1),\quad (1,1,-2),\quad (2,0,-4),\quad (0,2,-4).
Use esses pontos para marcar níveis de altura: por exemplo, o ponto (1,0,-1) e (0,1,-1) pertencem à curva de nível z=-1 que é um círculo de raio 1.

Passo 6

Receita passo a passo para desenhar um esboço à mão (sem cálculo pesado).
  1. No plano xy desenhe vários círculos concêntricos centrados na origem com raios r=1,2,\dots. Etiquete cada círculo com o valor de z correspondente: para raio r o z é -r^{2}. Ex.: raio 1\Rightarrow z=-1; raio 2\Rightarrow z=-4.
  2. Pense nesses círculos como “fatias” horizontais da superfície. À medida que o raio aumenta, a fatia fica mais baixa (valor de z mais negativo).
  3. Sobre cada círculo imagine uma curva fechada paralela ao círculo deslocada na direção negativa do eixo z. Conecte suavemente essas fatias formando uma “tigela” invertida (um chapéu) com vértice em (0,0,0).
  4. Para dar volume ao esboço, desenhe uma ou duas seções verticais (por exemplo pelas linhas y=0 e x=0): elas aparecem como parábolas que abrem para baixo e ajudam a visualizar a curvatura.
  5. Indique a direção positiva de z para cima e mostre que toda a superfície fica abaixo do plano z=0.

Passo 7

Propriedades geométricas rápidas (interpretação física/geométrica):
  • Superfície é um paraboloide circular invertido (ou seja, um paraboloide cujo eixo de simetria é o eixo z e que abre para baixo).
  • Simetria radial: a função depende apenas de x^{2}+y^{2}, portanto a superfície é invariante por rotações em torno do eixo z.
  • Máximo global em (0,0,0) com valor z=0; não existe mínimo (tende a -\infty quando \sqrt{x^{2}+y^{2}}\to\infty).

Passo 8

Dica rápida para quem vai fazer esse tipo de esboço numa prova:
  • Primeiro encontre vértice e faixa de z.
  • Faça curvas de nível (círculos), calcule alguns pontos com r=1,2 para etiquetar alturas.
  • Faça duas seções principais (ex.: y=0 e x=0) para ver as parábolas.
  • Conecte tudo formando uma superfície suave com simetria circular.
    Isto é suficiente para um esboço correto e rápido.

Resposta

A superfície é um paraboloide circular invertido com vértice em (0,0,0), simétrico em torno do eixo z, dado por z=-\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr). As curvas de nível são círculos x^{2}+y^{2}=-c para c\le 0 (raio \sqrt{-c}), e as seções verticais por quaisquer planos que contenham o eixo z são parábolas que abrem para baixo.

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