Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique por quê. \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x-1}{\left|2 x^{3}-x^{2}\right|}
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
Pede calcular, quando existir, o limite \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{2x-1}{\left|2x^{3}-x^{2}\right|}.
A informação dada é a expressão racional com uma valor absoluto no denominador: \left|2x^{3}-x^{2}\right|.
Passo 2
Entender o sinal dentro do valor absoluto para x grande (isso é importante porque |\cdot| muda a expressão dependendo do sinal).
Para x>0 temos x^{2}>0.
Note que 2x^{3}-x^{2}=x^{2}(2x-1).
Para x>\tfrac{1}{2} vale 2x-1>0, logo para todo x>\tfrac{1}{2} temos 2x^{3}-x^{2}>0.
Como estamos calculando o limite quando x\to\infty, podemos restringir a análise a x suficientemente grande (por exemplo x>1 ou x>\tfrac{1}{2}); alterar a função em um número finito de pontos não muda o limite.
Portanto, para x suficientemente grande: \left|2x^{3}-x^{2}\right|=2x^{3}-x^{2}.
Passo 3
Substituir a expressão do Passo 2 e simplificar algebricamente.
Calcular o limite da expressão simplificada e justificar por que é o mesmo do original.
Agora avaliamos
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{2}}.
À medida que x\to\infty, x^{2}\to\infty, então o recíproco tende a zero. Formalmente, para x\ge 1 vale 0<\dfrac{1}{x^{2}}\le\dfrac{1}{x} e sabe-se que \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=0; pelo princípio do confronto segue \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0.
Como a simplificação foi válida para todo x suficientemente grande, o limite da função original é o mesmo.
Passo 5
Interpretação final e dica rápida para a prova (um toque amigo):
Sempre que vir |polinômio| com x\to\infty, verifique o sinal do polinômio para x grande; muitas vezes ele tem o mesmo sinal do termo de maior grau e o valor absoluto desaparece.
Aqui no caso o termo de maior grau domina e permitiu fatorar e cancelar, deixando uma potência negativa de x que vai a zero.