Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x-1}{\left|2 x^{3}-x^{2}\right|}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede calcular, quando existir, o limite \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{2x-1}{\left|2x^{3}-x^{2}\right|}.
  • A informação dada é a expressão racional com uma valor absoluto no denominador: \left|2x^{3}-x^{2}\right|.

Passo 2

Entender o sinal dentro do valor absoluto para x grande (isso é importante porque |\cdot| muda a expressão dependendo do sinal).
  • Para x>0 temos x^{2}>0.
  • Note que 2x^{3}-x^{2}=x^{2}(2x-1).
  • Para x>\tfrac{1}{2} vale 2x-1>0, logo para todo x>\tfrac{1}{2} temos 2x^{3}-x^{2}>0.
  • Como estamos calculando o limite quando x\to\infty, podemos restringir a análise a x suficientemente grande (por exemplo x>1 ou x>\tfrac{1}{2}); alterar a função em um número finito de pontos não muda o limite.
  • Portanto, para x suficientemente grande: \left|2x^{3}-x^{2}\right|=2x^{3}-x^{2}.

Passo 3

Substituir a expressão do Passo 2 e simplificar algebricamente.
  • Para x grande temos
\frac{2x-1}{\left|2x^{3}-x^{2}\right|}=\frac{2x-1}{2x^{3}-x^{2}}.
  • Fatorando o denominador:
2x^{3}-x^{2}=x^{2}(2x-1).
  • Como 2x-1\neq0 para x grande (só é zero em x=\tfrac{1}{2}), podemos simplificar o fator comum 2x-1:
\frac{2x-1}{x^{2}(2x-1)}=\frac{1}{x^{2}} \qquad\text{(para \(x\) suficientemente grande).}

Passo 4

Calcular o limite da expressão simplificada e justificar por que é o mesmo do original.
  • Agora avaliamos
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{2}}.
  • À medida que x\to\infty, x^{2}\to\infty, então o recíproco tende a zero. Formalmente, para x\ge 1 vale 0<\dfrac{1}{x^{2}}\le\dfrac{1}{x} e sabe-se que \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=0; pelo princípio do confronto segue \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0.
  • Como a simplificação foi válida para todo x suficientemente grande, o limite da função original é o mesmo.

Passo 5

Interpretação final e dica rápida para a prova (um toque amigo):
  • Sempre que vir |polinômio | com x\to\infty, verifique o sinal do polinômio para x grande; muitas vezes ele tem o mesmo sinal do termo de maior grau e o valor absoluto desaparece.
  • Aqui no caso o termo de maior grau domina e permitiu fatorar e cancelar, deixando uma potência negativa de x que vai a zero.

Resposta

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