Apresente um esboço das superfícies
:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
- O enunciado pede: apresentar um esboço (um desenho/descrição geométrica) da superfície
dada por
- Informação dada: a fórmula explícita
. Não há dependência de na fórmula; só depende de . - Questões implícitas que vou responder ao longo dos passos:
- Como é o comportamento da superfície nas direções
e ? - Quais são as interseções com planos importantes (
-eixos, plano , etc.)? - Quais são as curvas de nível e as seções transversais que ajudam a esboçar?
- Há máximos, mínimos, e problemas de diferenciabilidade?
- Como é o comportamento da superfície nas direções
Passo 2
Interpretação básica: dependência só de
e consequências.
- Como a função não depende de
, para qualquer valor fixo de a altura é constante ao longo de toda a reta paralela ao eixo . Em palavras: a superfície é obtida pegando o gráfico unidimensional no plano e “extrudando” (estendendo) essa curva, copiando-a para todo o eixo . - Conclusão prática para o esboço: desenhe primeiro o perfil no plano
(um V invertido com ápice em ) e depois estenda esse perfil para ambos os lados paralelamente ao eixo .
Passo 3
Perfil no plano [y!-!z): analisar
.
- A expressão
é a distância de a zero. Assim
é uma função em
com formato de V cujo vértice está em
.
- Valores notáveis:
- Em
: . Então o vértice tem altura . - Em
: . Portanto a superfície corta o plano nas retas e (lembre: cada reta se estende em ). - Para
: e decresce linearmente sem limite inferior (quando , ).
- Em
- Forma explícita por ramo:
Isso mostra dois planos inclinados (linhas no perfil) que se encontram no vértice (y=0].]
Passo 4
Curvas de nível (como desenhar cortes horizontais).
- Para um valor fixo
, a condição é
Isolando
:
- Isso dá solução real somente se
, isto é, . - Quando
as curvas de nível são as duas retas paralelas ao eixo
cada uma estendendo-se por todo
. Em particular:
- Para
: a curva de nível é (linha única). - Para
: as curvas de nível são . - Para
: as curvas de nível são , ou seja, pares de retas simétricas mais afastadas da origem. - Interpretação para o esboço: curvas de nível são retas paralelas ao eixo
; conforme diminui, essas retas se afastam da linha .
Passo 5
Seções verticais úteis para o esboço.
- Seção por plano
constante (corte paralelo ao plano ): para qualquer
é o mesmo V que já descrevemos. Então ao fazer o esboço em 3D, qualquer plano paralelo ao plano
mostra o mesmo V.
- Seção por plano
constante (corte paralelo ao plano ): para fixo,
é uma reta horizontal (constante) no plano
(uma linha paralela ao eixo
, localizada na altura
). Isso confirma que a superfície é formada por linhas horizontais paralelas a
.
Passo 6
Resumo geométrico e propriedades importantes.
- Geometria: superfície é um “gable roof” (telhado em V) estendido indefinidamente na direção
. Visualmente: um V em produzido em todas as posições . - Simetria: é par em
— isto é, — então é simétrica em relação ao plano . - Máximo: existe um máximo global em todas as retas
quando , com . - Mínimo: não há mínimo global finito;
quando . - Diferenciabilidade: a função é linear (suave) para
, mas tem uma aresta (canto) ao longo da reta . Em termos de derivadas parciais: -
em todo lugar. -
existe e vale para e para ; em não existe (salto) — logo a superfície tem uma aresta afiada ao longo de .
-
Passo 7
Instrução passo a passo para desenhar o esboço (o que fazer num caderno/prova).
- Desenhe os eixos
(para a direita), (para frente ou para a direita no plano) e (para cima). - No plano
(isto é, fixando ) desenhe a curva em V com vértice em e cruzando em . Isso é o perfil. - A partir desse V, trace várias linhas retas paralelas ao eixo
passando por cada ponto do V. Essas linhas formam a superfície (como se estivesse puxando o V ao longo do eixo ). - Marque algumas curvas de nível horizontais: por exemplo
(linha única em ), (duas linhas ), (duas linhas ). Isso ajuda a dar profundidade ao desenho. - Destaque a aresta do vértice ao longo de
: é a crista mais alta da superfície, reta paralela ao eixo na altura .
Passo 8
Tabela de pontos rápidos para plotar (ajuda prática).
-
: para (perfil), pontos: -
. -
. -
. -
. -
.
-
- Para cada um desses pontos, desenhe a linha paralela ao eixo
(por exemplo, a partir de desenhe para vários ).
Resposta
A superfície é o gráfico de um V em
com vértice em
e retas
estendidas para todo
. Tem máximo
ao longo da reta
, corta o plano
nas retas
(para todo
), é simétrica em
, e é não diferenciável ao longo de
.