Apresente um esboço das superfícies z=f(x, y) :
f(x, y)=1-|y|

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • O enunciado pede: apresentar um esboço (um desenho/descrição geométrica) da superfície z=f(x,y) dada por
f(x,y)=1-|y|.
  • Informação dada: a fórmula explícita \,z=1-|y|\,. Não há dependência de x na fórmula; só depende de y.
  • Questões implícitas que vou responder ao longo dos passos:
    • Como é o comportamento da superfície nas direções x e y?
    • Quais são as interseções com planos importantes ( z-eixos, plano z=0, etc.)?
    • Quais são as curvas de nível e as seções transversais que ajudam a esboçar?
    • Há máximos, mínimos, e problemas de diferenciabilidade?

Passo 2

Interpretação básica: dependência só de y e consequências.
  • Como a função não depende de x, para qualquer valor fixo de y a altura z é constante ao longo de toda a reta paralela ao eixo x. Em palavras: a superfície é obtida pegando o gráfico unidimensional z=1-|y| no plano y\!-\!z e “extrudando” (estendendo) essa curva, copiando-a para todo o eixo x.
  • Conclusão prática para o esboço: desenhe primeiro o perfil no plano y\!-\!z (um V invertido com ápice em y=0) e depois estenda esse perfil para ambos os lados paralelamente ao eixo x.

Passo 3

Perfil no plano [y!-!z): analisar z=1-|y|.
  • A expressão |y| é a distância de y a zero. Assim
z=1-|y|
é uma função em y com formato de V cujo vértice está em y=0.
  • Valores notáveis:
    • Em y=0: z=1-|0|=1. Então o vértice tem altura \,z=1.
    • Em y= \pm 1: z=1-1=0. Portanto a superfície corta o plano z=0 nas retas y=1 e y=-1 (lembre: cada reta se estende em x).
    • Para |y|>1: z=1-|y|<0 e decresce linearmente sem limite inferior (quando |y|\to\infty, z\to -\infty).
  • Forma explícita por ramo:
z= \begin{cases} 1-y, & y\ge 0,\\[4pt] 1+ y, & y<0. \end{cases}
Isso mostra dois planos inclinados (linhas no perfil) que se encontram no vértice (y=0].]

Passo 4

Curvas de nível (como desenhar cortes horizontais).
  • Para um valor fixo \,z=c\,, a condição é
c=1-|y|.
Isolando |y|:
|y|=1-c.
  • Isso dá solução real somente se 1-c\ge 0, isto é, \,c\le 1.
  • Quando c\le 1 as curvas de nível são as duas retas paralelas ao eixo x
y=\pm(1-c),
cada uma estendendo-se por todo x. Em particular:
  • Para c=1: a curva de nível é y=0 (linha única).
  • Para c=0: as curvas de nível são y=\pm1.
  • Para c<0: as curvas de nível são y=\pm(1-c)>1, ou seja, pares de retas simétricas mais afastadas da origem.
  • Interpretação para o esboço: curvas de nível são retas paralelas ao eixo x; conforme z diminui, essas retas se afastam da linha y=0.

Passo 5

Seções verticais úteis para o esboço.
  • Seção por plano x= constante (corte paralelo ao plano y\!-\!z): para qualquer x_0
z=1-|y|
é o mesmo V que já descrevemos. Então ao fazer o esboço em 3D, qualquer plano paralelo ao plano y\!-\!z mostra o mesmo V.
  • Seção por plano y= constante (corte paralelo ao plano x\!-\!z): para y=y_0 fixo,
z=1-|y_0|
é uma reta horizontal (constante) no plano x\!-\!z (uma linha paralela ao eixo x, localizada na altura z=1-|y_0|). Isso confirma que a superfície é formada por linhas horizontais paralelas a x.

Passo 6

Resumo geométrico e propriedades importantes.
  • Geometria: superfície é um “gable roof” (telhado em V) estendido indefinidamente na direção x. Visualmente: um V em y\!-\!z produzido em todas as posições x.
  • Simetria: é par em y — isto é, f(x,y)=f(x,-y) — então é simétrica em relação ao plano y=0.
  • Máximo: existe um máximo global em todas as retas x\in\mathbb{R} quando y=0, com z_{\max}=1.
  • Mínimo: não há mínimo global finito; z\to -\infty quando |y|\to\infty.
  • Diferenciabilidade: a função é linear (suave) para y\neq 0, mas tem uma aresta (canto) ao longo da reta \{(x,0,1)\mid x\in\mathbb{R}\}. Em termos de derivadas parciais:
    • \partial f/\partial x=0 em todo lugar.
    • \partial f/\partial y existe e vale -1 para y>0 e +1 para y<0; em y=0 \partial f/\partial y não existe (salto) — logo a superfície tem uma aresta afiada ao longo de y=0.

Passo 7

Instrução passo a passo para desenhar o esboço (o que fazer num caderno/prova).
  1. Desenhe os eixos x (para a direita), y (para frente ou para a direita no plano) e z (para cima).
  2. No plano y\!-\!z (isto é, fixando x=0) desenhe a curva em V com vértice em (y,z)=(0,1) e cruzando z=0 em y=\pm1. Isso é o perfil.
  3. A partir desse V, trace várias linhas retas paralelas ao eixo x passando por cada ponto do V. Essas linhas formam a superfície (como se estivesse puxando o V ao longo do eixo x).
  4. Marque algumas curvas de nível horizontais: por exemplo z=1 (linha única em y=0), z=0 (duas linhas y=\pm1), z=-1 (duas linhas y=\pm2). Isso ajuda a dar profundidade ao desenho.
  5. Destaque a aresta do vértice ao longo de y=0: é a crista mais alta da superfície, reta paralela ao eixo x na altura z=1.

Passo 8

Tabela de pontos rápidos para plotar (ajuda prática).
  • (x,y,z): para x=0 (perfil), pontos:
    • y=0 \Rightarrow z=1 \Rightarrow (0,0,1).
    • y=1 \Rightarrow z=0 \Rightarrow (0,1,0).
    • y=-1 \Rightarrow z=0 \Rightarrow (0,-1,0).
    • y=2 \Rightarrow z=-1 \Rightarrow (0,2,-1).
    • y=-2 \Rightarrow z=-1 \Rightarrow (0,-2,-1).
  • Para cada um desses pontos, desenhe a linha paralela ao eixo x (por exemplo, a partir de (0,1,0) desenhe (x,1,0) para vários x).

Resposta

A superfície é o gráfico de um V em y\!-\!z com vértice em (y,z)=(0,1) e retas z=1-|y| estendidas para todo x. Tem máximo z=1 ao longo da reta \{(x,0,1)\mid x\in\mathbb{R}\}, corta o plano z=0 nas retas y=\pm1 (para todo x), é simétrica em y, e é não diferenciável ao longo de y=0.

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