Apresente um esboço das superfícies
:
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida por
para todos os pares
e pede um esboço (ou descrição visual) dessa superfície.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O domínio é todo o plano
. - O objetivo é representar geometricamente a superfície
.
Passo 2
Identificar pontos e interseções fáceis:
- Interseção com o plano
: resolver dá . Logo toda a reta (o eixo no plano ) pertence à superfície. Em palavras: a linha (para todos os ) é o “vértice” estendido da superfície. - Interseção com planos
constante e constante serão úteis para o esboço (ver passos seguintes).
Passo 3
Curvas de nível (contornos) — análise e interpretação:
- Para um valor fixo
de altura, as curvas de nível são dadas por . - Se
não há solução (nenhuma curva de nível). - Se
a curva de nível é (reta paralela ao eixo ). - Se
as curvas de nível são as retas , ou seja, duas retas paralelas ao eixo , ubicadas nas alturas no plano .
Esses contornos mostram já que, para cada altura, a interseção da superfície com o plano é um par de retas paralelas ao eixo .
Passo 4
Traços (seções) por planos do tipo
constante:
- Fixe
. A seção é no plano , que é exatamente a parábola usual no plano com vértice em e abertura para . - Essa parábola é independente de
: para qualquer obtemos a mesma parábola. Exemplo numérico para desenhar: os pontos pertencem à seção.
Conclusão: em cada plano paralelo ao plano(cada constante) vemos a mesma parábola .
Passo 5
Traços por planos do tipo
constante:
- Fixe
. A seção é , que é uma constante. Variação em não altera . - Geometricamente, para cada
a interseção com o plano é uma reta paralela ao eixo localizada na altura . - Exemplo: para
temos a reta ; para a reta .
Passo 6
Síntese geométrica (o que tudo isso implica sobre a forma):
- A superfície é um cilindro parabólico: tomar a parábola
no plano e “extrudir” (ou traduzir) essa parábola ao longo do eixo . - O eixo do cilindro parabólico é paralelo ao eixo
. - A superfície tem simetria em relação ao plano
(pois é par) e não depende de (translação em não muda ). - Não há pontos com
; o mínimo de é , alcançado ao longo de toda a reta (para todos os ).
Passo 7
Como desenhar passo a passo, sem calculadora:
- Desenhar os eixos
, , com vertical. - No plano
(plano ) desenhar a parábola usando pontos . - Para alguns valores de
(por exemplo ) desenhar as retas horizontais paralelas ao eixo nas alturas respectivamente (essas retas são as seções por constante). - Ligar suavemente as parabolas ao longo de
imaginando que a mesma curva em se repete para ; isso forma o casco do cilindro parabólico. - Opcional: desenhar algumas linhas guia paralelas ao eixo
em vários para enfatizar a estrutura de “linhas retas” na direção .
Passo 8
Informações adicionais úteis (tangentes e orientação, se quiser mais detalhe):
- Derivadas parciais:
e . Isso confirma que a superfície não varia com e que a inclinação na direção cresce com . - Equação do plano tangente em
com :
ou seja
- No caso
o plano tangente é , que coincide com o plano ao longo da reta de vértices.
Resposta
Superfície do tipo cilindro parabólico:
. Em planos
constante aparece a parábola
; em planos
constante aparecem retas paralelas ao eixo
em alturas
. A superfície é simétrica em
, não depende de
(estende-se indefinidamente na direção
) e tem mínimo
ao longo da reta
.