Apresente um esboço das superfícies z=f(x, y) :
f(x, y)=y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida por z=f(x,y)=y^{2} para todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^{2} e pede um esboço (ou descrição visual) dessa superfície.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x,y)=y^{2}.
  • O domínio é todo o plano (x,y).
  • O objetivo é representar geometricamente a superfície z=y^{2}.

Passo 2

Identificar pontos e interseções fáceis:
  • Interseção com o plano z=0: resolver y^{2}=0 y=0. Logo toda a reta \{(x,0,0)\mid x\in\mathbb{R}\} (o eixo x no plano z=0) pertence à superfície. Em palavras: a linha y=0,\\ z=0 (para todos os x) é o “vértice” estendido da superfície.
  • Interseção com planos x= constante e y= constante serão úteis para o esboço (ver passos seguintes).

Passo 3

Curvas de nível (contornos) — análise e interpretação:
  • Para um valor fixo c de altura, as curvas de nível são dadas por y^{2}=c.
  • Se c<0 não há solução (nenhuma curva de nível).
  • Se c=0 a curva de nível é y=0 (reta paralela ao eixo x).
  • Se c>0 as curvas de nível são as retas y=\pm\sqrt{c}, ou seja, duas retas paralelas ao eixo x, ubicadas nas alturas \pm\sqrt{c} no plano xy.
    Esses contornos mostram já que, para cada altura z=c>0, a interseção da superfície com o plano z=c é um par de retas paralelas ao eixo x.

Passo 4

Traços (seções) por planos do tipo x= constante:
  • Fixe x=x_{0}. A seção é z=y^{2} no plano \{x=x_{0}\}, que é exatamente a parábola usual no plano yz com vértice em (y,z)=(0,0) e abertura para z>0.
  • Essa parábola é independente de x_{0}: para qualquer x_{0} obtemos a mesma parábola. Exemplo numérico para desenhar: os pontos (y,z)=(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4) pertencem à seção.
    Conclusão: em cada plano paralelo ao plano yz (cada x= constante) vemos a mesma parábola z=y^{2}.

Passo 5

Traços por planos do tipo y= constante:
  • Fixe y=y_{0}. A seção é z=y_{0}^{2}, que é uma constante. Variação em x não altera z.
  • Geometricamente, para cada y_{0} a interseção com o plano y=y_{0} é uma reta paralela ao eixo x localizada na altura z=y_{0}^{2}.
  • Exemplo: para y_{0}=\pm1 temos a reta \{(x,\pm1,1)\mid x\in\mathbb{R}\}; para y_{0}=\pm2 a reta \{(x,\pm2,4)\mid x\in\mathbb{R}\}.

Passo 6

Síntese geométrica (o que tudo isso implica sobre a forma):
  • A superfície é um cilindro parabólico: tomar a parábola z=y^{2} no plano x=0 e “extrudir” (ou traduzir) essa parábola ao longo do eixo x.
  • O eixo do cilindro parabólico é paralelo ao eixo x.
  • A superfície tem simetria em relação ao plano y=0 (pois y^{2} é par) e não depende de x (translação em x não muda z).
  • Não há pontos com z<0; o mínimo de z é z=0, alcançado ao longo de toda a reta y=0 (para todos os x).

Passo 7

Como desenhar passo a passo, sem calculadora:
  1. Desenhar os eixos x, y, z com z vertical.
  2. No plano x=0 (plano yz) desenhar a parábola z=y^{2} usando pontos (y,z)=(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4).
  3. Para alguns valores de y (por exemplo y=0,\pm1,\pm2) desenhar as retas horizontais paralelas ao eixo x nas alturas z=0,1,4 respectivamente (essas retas são as seções por y= constante).
  4. Ligar suavemente as parabolas ao longo de x imaginando que a mesma curva em x=0 se repete para x=\pm1,\pm2; isso forma o casco do cilindro parabólico.
  5. Opcional: desenhar algumas linhas guia paralelas ao eixo x em vários y para enfatizar a estrutura de “linhas retas” na direção x.

Passo 8

Informações adicionais úteis (tangentes e orientação, se quiser mais detalhe):
  • Derivadas parciais: f_{x}(x,y)=0 e f_{y}(x,y)=2y. Isso confirma que a superfície não varia com x e que a inclinação na direção y cresce com |y|.
  • Equação do plano tangente em (x_{0},y_{0},z_{0}) com z_{0}=y_{0}^{2}:
z - y_{0}^{2}=0\cdot(x-x_{0}) + 2y_{0}\,(y-y_{0}),
ou seja
z = y_{0}^{2} + 2y_{0}(y-y_{0}).
  • No caso y_{0}=0 o plano tangente é z=0, que coincide com o plano z=0 ao longo da reta de vértices.

Resposta

Superfície do tipo cilindro parabólico: z=y^{2}. Em planos x= constante aparece a parábola z=y^{2}; em planos y= constante aparecem retas paralelas ao eixo x em alturas z=y_{0}^{2}. A superfície é simétrica em y=0, não depende de x (estende-se indefinidamente na direção x) e tem mínimo z=0 ao longo da reta \{(x,0,0)\mid x\in\mathbb{R}\}.

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