A temperatura T (em { }^{\circ} \mathrm{C} ) em uma placa metálica retangular é modelada pela função T(x, y)=100-2 x^{2}-y^{2}, onde x e y representam as coordenadas de posição (em \mathrm{cm}) a partir da origem no canto inferior esquerdo da placa.
Considere a seguinte malha de pontos na placa para análise térmica:
Coordenada x \backslash y 0 cm 2 cm 4 cm
0 cm T(0,0) T(0,2) T(0,4)
1 cm T(1,0) T(1,2) T(1,4)
\mathbf{3 c m} T(3,0) T(3,2) T(3,4)
a) Complete a tabela com os valores de temperatura nos pontos indicados.
b) Determine o domínio físico da função considerando que a placa possui dimensões 0 \leq x \leq 5 e 0 \leq y \leq 8.
c) Identifique em qual desses pontos da tabela a temperatura é máxima e descreva o que acontece com a temperatura à medida que nos afastamos da origem.
d) Determine a equação das curvas de nível (isotermas) para T=70 e T=90.

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e pede. Dados fornecidos:
  • A temperatura é dada por T(x,y)=100-2x^{2}-y^{2}, com T em {}^{\circ}\mathrm{C} e x,y em \mathrm{cm}.
  • A malha de pontos pedida tem coordenadas x\in\{0,1,3\} (linhas) e y\in\{0,2,4\} (colunas).
  • A placa tem dimensões físicas 0\le x\le5 e 0\le y\le8.
O enunciado pede:
(a) completar a tabela com os valores T(x,y) nos pontos indicados;
(b) determinar o domínio físico da função considerando as dimensões da placa;
(c) identificar em qual desses pontos da tabela a temperatura é máxima e descrever o que acontece com a temperatura à medida que nos afastamos da origem;
(d) determinar as curvas de nível (isotermas) para T=70 e T=90.

Passo 2

Vamos calcular os valores pedindo na tabela. Primeiro escrevo a fórmula e depois substituo cada par (x,y):
T(x,y)=100-2x^{2}-y^{2}.
Calculemos ponto a ponto (faço as contas passo a passo):
  • Para (x,y)=(0,0):
T(0,0)=100-2\cdot0^{2}-0^{2}=100.
  • Para (x,y)=(0,2):
T(0,2)=100-2\cdot0^{2}-2^{2}=100-4=96.
  • Para (x,y)=(0,4):
T(0,4)=100-2\cdot0^{2}-4^{2}=100-16=84.
  • Para (x,y)=(1,0):
T(1,0)=100-2\cdot1^{2}-0^{2}=100-2=98.
  • Para (x,y)=(1,2):
T(1,2)=100-2\cdot1^{2}-2^{2}=100-2-4=94.
  • Para (x,y)=(1,4):
T(1,4)=100-2\cdot1^{2}-4^{2}=100-2-16=82.
  • Para (x,y)=(3,0):
T(3,0)=100-2\cdot3^{2}-0^{2}=100-18=82.
  • Para (x,y)=(3,2):
T(3,2)=100-18-4=78.
  • Para (x,y)=(3,4):
T(3,4)=100-18-16=66.
Agora a tabela está completa com esses valores numéricos.

Passo 3

Determinar o domínio físico da função dado que a placa tem dimensões 0\le x\le5 e 0\le y\le8.
O domínio físico é o conjunto de todos os pares (x,y) pertencentes à placa; escrevendo em notação:
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le5,\;0\le y\le8\}.
Observação: a função T(x,y) está bem definida para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}, mas fisicamente só interessa o retângulo D da placa.

Passo 4

Identificar o ponto da tabela com temperatura máxima e descrever o comportamento ao afastar-se da origem.
Dos valores calculados na tabela os maiores são:
T(0,0)=100,\quad T(1,0)=98,\quad T(0,2)=96,\\ \ldots
Logo, o valor máximo entre os pontos da tabela é \,T(0,0)=100{}^{\circ}\mathrm{C}, atingido no ponto (0,0) (origem, canto inferior esquerdo).
Explicação didática do porquê: a fórmula T(x,y)=100-2x^{2}-y^{2} tem termos subtrativos em x^{2} e y^{2}. Isso significa que ao aumentar |x| ou |y| a temperatura diminui porque estamos subtraindo uma quantidade positiva (quadráticos). Em linguagem simples: quanto mais longe da origem (maior x ou y), menor a temperatura. Matematicamente, o gradiente é
\nabla T(x,y)=\big(-4x,\,-2y\big),
que se anula só em (0,0). A matriz de segundas derivadas (Hessiana) é diagonal com entradas -4 e -2 (ambas negativas), o que indica que (0,0) é um ponto de máximo local (a função é “côncava para baixo”). Assim a origem é o máximo global para toda a placa e a temperatura decresce à medida que se afasta da origem. Para ilustrar a queda num ponto extremo da placa, em (5,8) (canto oposto) a temperatura é
T(5,8)=100-2\cdot5^{2}-8^{2}=100-50-64=-14{}^{\circ}\mathrm{C},
mostrando que a temperatura pode ficar muito menor nas regiões mais distantes da origem.

Passo 5

Determinar as curvas de nível (isotermas) para T=70 e T=90.
Curva de nível geral para um valor T_{0} obtém-se resolvendo
100-2x^{2}-y^{2}=T_{0}\quad\Longrightarrow\quad 2x^{2}+y^{2}=100-T_{0}.
  • Para T_{0}=70:
2x^{2}+y^{2}=100-70=30.
Podemos reconhecer essa equação como uma elipse centrada na origem. Reescrevendo em forma canônica:
\frac{x^{2}}{15}+\frac{y^{2}}{30}=1.
Os semieixos são a=\sqrt{15} na direção x e b=\sqrt{30} na direção y (aproximadamente a\approx3,873, b\approx5,477).
  • Para T_{0}=90:
2x^{2}+y^{2}=100-90=10.
Forma canônica:
\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{10}=1.
Os semieixos são a=\sqrt{5} e b=\sqrt{10} (aproximadamente a\approx2,236, b\approx3,162).
Observação prática: como a placa está apenas no primeiro quadrante físico (x\ge0,y\ge0), as curvas de nível relevantes na placa são os ramos dessas elipses situados em x\ge0,y\ge0.

Resposta

(a) Tabela completa:
T(0,0)=100,\quad T(0,2)=96,\quad T(0,4)=84,
T(1,0)=98,\quad T(1,2)=94,\quad T(1,4)=82,
T(3,0)=82,\quad T(3,2)=78,\quad T(3,4)=66.
(b) Domínio físico: D=\{(x,y)\mid 0\le x\le5,\;0\le y\le8\}.
(c) Temperatura máxima na tabela: T(0,0)=100{}^{\circ}\mathrm{C}. Ao afastar‑se da origem ( x ou y aumenta) a temperatura decresce devido aos termos -2x^{2} e -y^{2} (queda quadrática).
(d) Isotermas:
T=70:\;2x^{2}+y^{2}=30 (elipse, equivalente a \dfrac{x^{2}}{15}+\dfrac{y^{2}}{30}=1).
T=90:\;2x^{2}+y^{2}=10 (elipse, equivalente a \dfrac{x^{2}}{5}+\dfrac{y^{2}}{10}=1).

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