A temperatura
(em
) em uma placa metálica retangular é modelada pela função
, onde
e
representam as coordenadas de posição (em
a partir da origem no canto inferior esquerdo da placa.
Considere a seguinte malha de pontos na placa para análise térmica:
Coordenada
0 cm
2 cm
4 cm
0 cm
1 cm
a) Complete a tabela com os valores de temperatura nos pontos indicados.
b) Determine o domínio físico da função considerando que a placa possui dimensões
5 e
.
c) Identifique em qual desses pontos da tabela a temperatura é máxima e descreva o que acontece com a temperatura à medida que nos afastamos da origem.
d) Determine a equação das curvas de nível (isotermas) para
e
.
| Coordenada
|
0 cm | 2 cm | 4 cm |
| 0 cm |
|
|
|
| 1 cm |
|
|
|
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|
|
|
|
b) Determine o domínio físico da função considerando que a placa possui dimensões
c) Identifique em qual desses pontos da tabela a temperatura é máxima e descreva o que acontece com a temperatura à medida que nos afastamos da origem.
d) Determine a equação das curvas de nível (isotermas) para
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e pede. Dados fornecidos:
- A temperatura é dada por
, com em e em . - A malha de pontos pedida tem coordenadas
(linhas) e (colunas). - A placa tem dimensões físicas
e .
O enunciado pede:
(a) completar a tabela com os valores nos pontos indicados;
(b) determinar o domínio físico da função considerando as dimensões da placa;
(c) identificar em qual desses pontos da tabela a temperatura é máxima e descrever o que acontece com a temperatura à medida que nos afastamos da origem;
(d) determinar as curvas de nível (isotermas) para e
.
(a) completar a tabela com os valores
(b) determinar o domínio físico da função considerando as dimensões da placa;
(c) identificar em qual desses pontos da tabela a temperatura é máxima e descrever o que acontece com a temperatura à medida que nos afastamos da origem;
(d) determinar as curvas de nível (isotermas) para
Passo 2
Vamos calcular os valores pedindo na tabela. Primeiro escrevo a fórmula e depois substituo cada par
:
Calculemos ponto a ponto (faço as contas passo a passo):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Agora a tabela está completa com esses valores numéricos.
Passo 3
Determinar o domínio físico da função dado que a placa tem dimensões
e
.
O domínio físico é o conjunto de todos os pares
pertencentes à placa; escrevendo em notação:
Observação: a função
está bem definida para todo
, mas fisicamente só interessa o retângulo
da placa.
Passo 4
Identificar o ponto da tabela com temperatura máxima e descrever o comportamento ao afastar-se da origem.
Dos valores calculados na tabela os maiores são:
Logo, o valor máximo entre os pontos da tabela é
, atingido no ponto
(origem, canto inferior esquerdo).
Explicação didática do porquê: a fórmula
tem termos subtrativos em
e
. Isso significa que ao aumentar
ou
a temperatura diminui porque estamos subtraindo uma quantidade positiva (quadráticos). Em linguagem simples: quanto mais longe da origem (maior
ou
), menor a temperatura. Matematicamente, o gradiente é
que se anula só em
. A matriz de segundas derivadas (Hessiana) é diagonal com entradas
e
(ambas negativas), o que indica que
é um ponto de máximo local (a função é “côncava para baixo”). Assim a origem é o máximo global para toda a placa e a temperatura decresce à medida que se afasta da origem. Para ilustrar a queda num ponto extremo da placa, em
(canto oposto) a temperatura é
mostrando que a temperatura pode ficar muito menor nas regiões mais distantes da origem.
Passo 5
Determinar as curvas de nível (isotermas) para
e
.
Curva de nível geral para um valor
obtém-se resolvendo
- Para
:
Podemos reconhecer essa equação como uma elipse centrada na origem. Reescrevendo em forma canônica:
Os semieixos são
na direção
e
na direção
(aproximadamente
,
).
- Para
:
Forma canônica:
Os semieixos são
e
(aproximadamente
,
).
Observação prática: como a placa está apenas no primeiro quadrante físico
, as curvas de nível relevantes na placa são os ramos dessas elipses situados em
.
Resposta
(a) Tabela completa:
(b) Domínio físico:
(c) Temperatura máxima na tabela:
. Ao afastar‑se da origem (
ou
aumenta) a temperatura decresce devido aos termos
e
(queda quadrática).
(d) Isotermas:
(elipse, equivalente a
).
(elipse, equivalente a
).