Apresente um exemplo que mostre a resolução de uma inequação e nela apareça o estudo do intervalo numérico.

Passo 1

Queremos resolver a inequação
\frac{x-2}{x+1} \ge 0
Este é um problema de inequação racional: precisamos encontrar onde o numerador e o denominador mudam de sinal e, em seguida, estudar cada intervalo numérico.

Passo 2

Identificamos os pontos críticos da expressão \frac{x-2}{x+1}:
– O numerador anula-se em x-2=0, ou seja, x=2.
– O denominador anula-se em x+1=0, ou seja, x=-1, ponto de descontinuidade.

Passo 3

Os pontos x=-1 e x=2 dividem a reta real em três intervalos:
(-\infty,-1), (-1,2) e (2,\infty).
Em cada intervalo, analisamos o sinal de cada fator:
– Para x<-1: x-2<0 e x+1<0, logo \frac{x-2}{x+1}>0.
– Para -1<x<2: x-2<0 e x+1>0, logo \frac{x-2}{x+1}<0.
– Para x>2: x-2>0 e x+1>0, logo \frac{x-2}{x+1}>0.

Passo 4

Como queremos \frac{x-2}{x+1}\ge0, aceitamos os intervalos em que o quociente é positivo e também o ponto em que ele zera (numerador zero), mas descartamos onde o denominador anula-se. Portanto, a solução é
(-\infty,-1)\cup[2,\infty).

Resposta

(-\infty,-1)\cup[2,\infty)

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