Compartilhe no Fórum, considerando os estudos realizados até aqui, qual a importância do estudo dos intervalos numéricos e da resolução de inequações para o estudo de função?

Passo 1

Estamos discutindo como, em funções de variável real, os intervalos numéricos e a resolução de inequações são ferramentas essenciais para entender o comportamento de f. Para isso, vamos ver o papel de cada um na definição do domínio, na análise de sinais e na construção do gráfico.

Passo 2

Um intervalo numérico é um conjunto de pontos reais contíguos, por exemplo [a,b], (a,b), [a,b) ou (-\infty,c]. Ao estudar uma função f, usamos intervalos para:
  1. Definir o domínio, isto é, o conjunto de x em que f(x) existe.
  2. Particionar a reta real em trechos onde f pode ser contínua, monotônica ou ter outros comportamentos característicos.

Passo 3

A resolução de inequações nos permite determinar valores de x que satisfazem condições do tipo f(x)>0, f(x)\le0, ou mesmo restrições que surgem ao garantir que expressões sob raiz ou denominador sejam válidas. Por exemplo:
  • Para f(x)=\sqrt{x-2}, exigimos x-2\ge0, logo o domínio é o intervalo [2,\,+\infty).
  • Para g(x)=\tfrac{1}{x-3}, exigimos x-3\neq0 e podemos ainda querer g(x)>0, o que leva à inequação x<3 ou x>3.

Passo 4

Com intervalos e inequações em mãos, conseguimos:
  • Esboçar o gráfico de maneira precisa, sabendo onde a função existe e qual é seu sinal.
  • Analisar monotonicidade e encontrar máximos ou mínimos relativos, pois dividimos o domínio em intervalos onde f' mantém sinal constante.
  • Estudar continuidade e pontos de descontinuidade, já que toda quebra de intervalo pode indicar suspensão, salto ou assíntota.

Resposta

O estudo de intervalos numéricos e a habilidade de resolver inequações são fundamentais para determinar corretamente o domínio, a imagem e os trechos de variação de uma função. Sem eles, não conseguiríamos construir gráficos confiáveis nem analisar sinais, monotonicidade, continuidade e extremos de f.

Exercícios relacionados