Determine a derivada da função vetorial.
11.
\mathbf{r}(t)=\mathbf{i}-\mathbf{j}+e^{4 t} \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
\mathbf{r}(t)=\mathbf{i}-\mathbf{j}+e^{4t}\,\mathbf{k}
e pede sua derivada. Vamos usar a regra de derivação componente a componente e, no caso de e^{4t}, a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos a função em forma de tripla de componentes escalares:
\mathbf{r}(t) = (\,1,\,-1,\;e^{4t}\,).

Passo 3

Calculamos a derivada de cada componente:
\frac{d}{dt}(1)=0,\quad \frac{d}{dt}(-1)=0,\quad \frac{d}{dt}\bigl(e^{4t}\bigr)=4e^{4t}.

Passo 4

Agrupando os resultados nas direções \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}, temos
\mathbf{r}'(t)=0\mathbf{i}+0\mathbf{j}+4e^{4t}\mathbf{k}.
Eliminando os termos nulos, obtemos a forma final.

Resposta

\mathbf{r}'(t)=4e^{4t}\,\mathbf{k}.

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