Apresente o mapa de contorno da função f(x, y)=x^29+y^24 esboçando suas curvas de níveis, nos níveis z=1, z=2, z=3 e z=4.

Passo 1

O enunciado pede o mapa de contorno (curvas de nível) da função f(x,y)=dfracx^29+dfracy^24 para os níveis z=1,2,3,4. Vamos usar o conceito de curvas de nível, que são as soluções do sistema f(x,y)=z no plano (x,y).

Passo 2

Para traçar cada curva de nível, igualamos f(x,y) a um valor fixo z, ou seja,
x^29+y^24=z

Passo 3

Reescrevendo em forma padrão de elipse, dividimos por z>0:
x^29z+y^24z=1

Passo 4

Reconhecemos que isso é uma elipse centrada em (0,0) com semi-eixos
a=l(9zr)^1/2=3raizz, b=l(4zr)^1/2=2raizz

Passo 5

Para cada nível temos então:
  • z=1: semi-eixos a=3, b=2.
  • z=2: semi-eixos a=3raiz2, b=2raiz2.
  • z=3: semi-eixos a=3raiz3, b=2raiz3.
  • z=4: semi-eixos a=6, b=4.

Passo 6

O mapa de contorno será composto por quatro elipses concêntricas (todas centradas em (0,0)), alinhadas aos eixos x e y, com tamanho crescente conforme o nível z aumenta.

Resposta

As curvas de nível são as elipses
z=1: , x^2/9 + y^2/4 = 1 (a=3, b=2)
z=2: , x^2/(18) + y^2/(8) = 1 (a=3√2, b=2√2)
z=3: , x^2/(27) + y^2/(12) = 1 (a=3√3, b=2√3)
z=4: , x^2/36 + y^2/16 = 1 (a=6, b=4)
São elipses concêntricas centradas em (0,0), alinhadas aos eixos, com semi-eixos a=3√z e b=2√z para cada nível z=1,2,3,4.

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