Apresente o mapa de contorno da função
esboçando suas curvas de níveis, nos níveis
e
.
Passo 1
O enunciado pede o mapa de contorno (curvas de nível) da função
para os níveis
. Vamos usar o conceito de curvas de nível, que são as soluções do sistema
no plano
.
Passo 2
Para traçar cada curva de nível, igualamos
a um valor fixo
, ou seja,
Passo 3
Reescrevendo em forma padrão de elipse, dividimos por
:
Passo 4
Reconhecemos que isso é uma elipse centrada em
com semi-eixos
Passo 5
Para cada nível temos então:
-
: semi-eixos , . -
: semi-eixos , . -
: semi-eixos , . -
: semi-eixos , .
Passo 6
O mapa de contorno será composto por quatro elipses concêntricas (todas centradas em
), alinhadas aos eixos
e
, com tamanho crescente conforme o nível
aumenta.
Resposta
As curvas de nível são as elipses
z=1: , x^2/9 + y^2/4 = 1 (a=3, b=2)
z=2: , x^2/(18) + y^2/(8) = 1 (a=3√2, b=2√2)
z=3: , x^2/(27) + y^2/(12) = 1 (a=3√3, b=2√3)
z=4: , x^2/36 + y^2/16 = 1 (a=6, b=4)
z=2: , x^2/(18) + y^2/(8) = 1 (a=3√2, b=2√2)
z=3: , x^2/(27) + y^2/(12) = 1 (a=3√3, b=2√3)
z=4: , x^2/36 + y^2/16 = 1 (a=6, b=4)
São elipses concêntricas centradas em (0,0), alinhadas aos eixos, com semi-eixos a=3√z e b=2√z para cada nível z=1,2,3,4.