Calcule as seguintes integrais:
integral duplaB x d x d y onde B é o círculo x^2+y^2-x <= 0 (A equação deste círculo é (x-12)^2+y^2 <= (12)^2. Logo, faça x-12=rho cos (theta) e y=rho sen(theta))

Passo 1

A questão pede para calcular integral duplaB x,dx,dy onde B é o círculo definido por x^2 + y^2 - x <= 0, que podemos reescrever como l(x-tfrac12r)^2 + y^2 <= l(tfrac12r)^2. O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas, e vamos usar coordenadas polares centradas em (tfrac12,0) definidas por x - tfrac12 = rhocostheta, y = rhosintheta

Passo 2

Nessas coordenadas, o parâmetro rho varia de 0 até tfrac12 (o raio do círculo) e theta vai de 0 até 2pi. Logo, os limites são 0 <= rho <= tfrac12 e 0 <= theta < 2pi.
Expressamos agora x e o elemento de área dx,dy. Temos x = rhocostheta + tfrac12 e o jacobiano das coordenadas polares é dx,dy = rho,drho,dtheta.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral duplaB x,dx,dy = integral0^2pi integral0^1/2 l(rhocostheta + tfrac12r),rho,drho,dtheta

Passo 4

Podemos separar em duas integrais:
integral0^2pi integral0^1/2 rho^2costheta,drho,dtheta + tfrac12 integral0^2pi integral0^1/2 rho,drho,dtheta

Passo 5

A primeira parte é zero porque
integral0^2pi costheta,dtheta = 0
A segunda parte dá
tfrac12 integral0^2pi dtheta integral0^1/2 rho,drho = tfrac12 cdot 2pi cdot l[tfracrho^22r]0^1/2 = tfrac12 cdot 2pi cdot tfrac18 = tfracpi8

Resposta

dfracpi8

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