Se
é a superpície cilíndrica
acima do plano
e abaixo do plano
, determine uma parametrizacão para
.
Passo 1
O enunciado pede para parametrizar a superfície lateral do cilindro definido por x² + y² = 1, que está entre o plano xy (z = 0) e o plano z + y = 2. O conteúdo aqui é parametrização de superfícies cilíndricas, para o qual vamos usar um ângulo para a direção circular e uma variável para a altura.
Passo 2
Como a superfície é o cilindro de raio 1, a projeção no plano xy é a circunferência x² + y² = 1. Então podemos usar o parâmetro θ para percorrer 0 a 2π e um parâmetro v para variar a altura z.
Em coordenadas, escolhemos x = cos θ e y = sin θ. Como θ varia de 0 a 2π, cobrimos toda a circunferência. O parâmetro v será exatamente a coordenada z nessa superfície.
Em coordenadas, escolhemos x = cos θ e y = sin θ. Como θ varia de 0 a 2π, cobrimos toda a circunferência. O parâmetro v será exatamente a coordenada z nessa superfície.
Passo 3
Agora precisamos dos limites de v = z. A parte inferior é dada por z = 0 (plano xy) e a parte superior vem de z = 2 − y. Como y = sin θ, temos z ≤ 2 − sin θ. Logo, 0 ≤ v ≤ 2 − sin θ.
Juntando tudo, definimos a parametrização r(θ,v). O vetor posição é
Juntando tudo, definimos a parametrização r(θ,v). O vetor posição é
com
Resposta
Uma parametrização para a superfície é
com