Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,1) ln 2+x^2x^2 y+2 y^2.

Passo 1

Estamos lidando com o limite de uma função de duas variáveis: \ calcular \ lim(x,y)to(0,1) ln2+x^2x^2y+2y^2. O conteúdo aqui envolve limites de funções polinomiais, quocientes e a função ln, e precisaremos usar continuidade dessas funções para trocar o limite e o ln.

Passo 2

Primeiro, note que a parte interna g(x,y)=2+x^2x^2y+2y^2 é bem definida e contínua num entorno de (0,1), pois o denominador x^2y+2y^2 quando (x,y)to(0,1) tende a 2, que é diferente de zero. Assim não há problema de divisão por zero nem de argumento não positivo para o ln.

Passo 3

Agora calculamos o limite da parte interna diretamente por substituição:
lim(x,y)to(0,1)(2+x^2)=2, lim(x,y)to(0,1)(x^2y+2y^2)=2
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lim(x,y)to(0,1)2+x^2x^2y+2y^2=22=1

Passo 4

Por fim, como ln é contínua no ponto interno 1, podemos passar o limite para dentro do ln. Assim
lim(x,y)to(0,1)ln2+x^2x^2y+2y^2=lnl(lim(x,y)to(0,1)2+x^2x^2y+2y^2r)=ln(1)=0

Resposta

0

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