Apresente uma parametrização das curvas
x^23+y^23=a^23, 1+x^2=e^y
(Resposta: alpha(t)=a cos ^3 t i+a sen^3 t j, 0 <= t <= 2 pi ; beta(t)=t i+ln (1+t^2) j, t in R)

Passo 1

Estamos buscando a representação paramétrica de duas curvas no plano dadas por:
x^tfrac23 + y^tfrac23 = a^tfrac23
e
1 + x^2 = e^y
O conteúdo envolvido é parametrização de curvas em R^2. Para a primeira usamos funções trigonométricas, e para a segunda voltamo-nos para a função logarítmica.

Passo 2

Observando a equação
x^tfrac23 + y^tfrac23 = a^tfrac23,
reconhecemos a forma de uma astroide. Uma parametrização clássica é
x = acos^3 t,
y = a,sen^3 t,
com tin[0,2pi]. De fato,
l(acos^3 tr)^tfrac23 + l(a,sen^3 tr)^tfrac23 = a^tfrac23(cos^2 t + sen^2 t) = a^tfrac23

Passo 3

Na equação
1 + x^2 = e^y,
basta isolar y:
y = ln(1 + x^2)
Para gerar a parametrização escolhemos x = t com tinR. Logo
x = t,
y = ln(1 + t^2)

Resposta

As parametrizações são
alpha(t) = acos^3 t,i + a,sen^3 t,j, 0 <= t <= 2pi,
beta(t) = t,i + ln(1 + t^2),j, t in R

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