Encontre os pontos críticos das seguintes funções:
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função de duas variáveis
. O conteúdo aqui é derivadas parciais e pontos críticos: vamos precisar calcular
e
, igualar a zero e resolver o sistema.
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada parcial de
em relação a
. Temos:
$$
u_x=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\tfrac{1}{3}x3+y2+2xy-6x-3y+4\Bigr)=x^2+2y-6
u_y=\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\tfrac{1}{3}x3+y2+2xy-6x-3y+4\Bigr)=2y+2x-3$$
Passo 3
Para achar os críticos, igualamos ambas a zero e montamos o sistema:
Passo 4
Da primeira equação isolamos
:
Passo 5
Substituímos essa expressão na segunda equação e resolvemos para
:
Passo 6
Para cada
achamos
usando
:
Para :
Para
Para
Resposta
Os pontos críticos são
e
.