Encontre os pontos críticos das seguintes funções:
u(x, y)=13 x^3+y^2+2 x y-6 x-3 y+4.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função de duas variáveis u(x,y)=tfrac13x^3+y^2+2xy-6x-3y+4. O conteúdo aqui é derivadas parciais e pontos críticos: vamos precisar calcular ux e uy, igualar a zero e resolver o sistema.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada parcial de u em relação a x. Temos:
$$
u_x=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\tfrac{1}{3}x3+y2+2xy-6x-3y+4\Bigr)=x^2+2y-6 ux=partialpartial xl(tfrac13x^3+y^2+2xy-6x-3y+4r)=x^2+2y-6çã
u_y=\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\tfrac{1}{3}x3+y2+2xy-6x-3y+4\Bigr)=2y+2x-3$$

Passo 3

Para achar os críticos, igualamos ambas a zero e montamos o sistema:
x^2+2y-6=0 2y+2x-3=0

Passo 4

Da primeira equação isolamos y:
2y=6-x^2
y=3-x^22

Passo 5

Substituímos essa expressão na segunda equação e resolvemos para x:
2l(3-tfracx^22r)+2x-3=0
6-x^2+2x-3=0
-x^2+2x+3=0
x^2-2x-3=0
x=2pmraiz4+122=2pm42implies x=3 ou x=-1

Passo 6

Para cada x achamos y usando y=3-tfracx^22:
Para x=3:
y=3-tfrac92=-tfrac32
Para x=-1:
y=3-tfrac12=tfrac52

Resposta

Os pontos críticos são (3,-tfrac32) e (-1,tfrac52).

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