Apresente uma parametrização diferenciável para a curva C em R^3, interseção das superfícies dadas por:
x^2+y^2+z^2=8-2(x+y), z >= 0 e x+y=2

Passo 1

O enunciado pede para achar uma parametrização diferenciável da curva C em R^3 definida como interseção da esfera ,x^2+y^2+z^2=8-2(x+y), com z>=0 e o plano x+y=2. Vamos usar geometria analítica — completar quadrados para a esfera, projetar o centro no plano e parametrizar a circunferência resultante.

Passo 2

Começamos por escrever a esfera em forma padrão. Reescrevendo
x^2+2x+y^2+2y+z^2=8,,
temos
(x+1)^2-1+(y+1)^2-1+z^2=8,,
logo
(x+1)^2+(y+1)^2+z^2=10,

Passo 3

Isso mostra que a esfera tem centro S=(-1,-1,0) e raio raiz10.

Passo 4

O plano é dado por x+y=2, cujo vetor normal é n=(1,1,0). Para achar o centro da circunferência de interseção, projetamos S sobre o plano. A distância assinada do ponto ao plano é
d=(-1)+(-1)-2| n|=-4raiz2=-2raiz2,

Passo 5

A projeção de S no plano é
P=S - d n| n|=(-1,-1,0)-(-2raiz2)(1,1,0)raiz2=(1,1,0),

Passo 6

O raio r da circunferência de interseção satisfaz
r=raiz(raiz10)^2 - d^2=raiz10-8=raiz2,

Passo 7

Agora precisamos de dois vetores ortonormais no plano x+y=2. Um modo simples é escolher
v1=(1,-1,0)raiz2, v2=(0,0,1), pois ambos são perpendiculares a n e têm norma 1. Assim a circunferência é
C:; r(t)=P + r(cos t, v1 + sin t, v2), tin[0,2pi]

Passo 8

Para impor a condição z>=0, basta restringir t a [0,pi]. Substituindo P=(1,1,0), r=raiz2, v1=(1,-1,0)/raiz2 e v2=(0,0,1), obtemos a parametrização final.

Resposta

Uma parametrização diferenciável é
r(t)=l(1+cos t,;1-cos t,;raiz2,sin tr), tin[0,pi]

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