Apresente uma parametrização diferenciável para a curva
em
, interseção das superfícies dadas por:
e
Passo 1
O enunciado pede para achar uma parametrização diferenciável da curva C em
definida como interseção da esfera
com
e o plano
. Vamos usar geometria analítica — completar quadrados para a esfera, projetar o centro no plano e parametrizar a circunferência resultante.
Passo 2
Começamos por escrever a esfera em forma padrão. Reescrevendo
temos
logo
Passo 3
Isso mostra que a esfera tem centro
e raio
.
Passo 4
O plano é dado por
, cujo vetor normal é
. Para achar o centro da circunferência de interseção, projetamos
sobre o plano. A distância assinada do ponto ao plano é
Passo 5
A projeção de
no plano é
Passo 6
O raio
da circunferência de interseção satisfaz
Passo 7
Agora precisamos de dois vetores ortonormais no plano
. Um modo simples é escolher
Passo 8
Para impor a condição
, basta restringir
a
. Substituindo
,
,
e
, obtemos a parametrização final.
Resposta
Uma parametrização diferenciável é