Calcule a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície nos pontos indicados
(d) x-z=4 arctan (y z) ; (1+pi, 1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície definida por $ x - z = 4 \arctan(y z) $ no ponto $ (1 + \pi, 1, 1) $.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o cálculo de derivadas parciais e o uso do gradiente para determinar o plano tangente e a reta normal.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de uma forma que facilite o cálculo das derivadas parciais. Podemos escrever:
F(x, y, z) = x - z - 4 arctan(y z) = 0

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o gradiente de $ F $, que é um vetor formado pelas derivadas parciais de $ F $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $. O gradiente nos dá a direção normal à superfície no ponto dado.
Vamos calcular cada derivada:
  • Derivada parcial em relação a $ x $:
    F
  • Derivada parcial em relação a $ y $:
    F
  • Derivada parcial em relação a $ z $:
    x

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores do ponto $ (1 + \pi, 1, 1) $ nas derivadas parciais para encontrar o gradiente naquele ponto.
  • Para $ \frac{\partial F}{\partial x} $:
    (1 + pi, 1, 1)
  • Para $ \frac{\partial F}{\partial y} $:
    partial Fpartial x
  • Para $ \frac{\partial F}{\partial z} $:
    partial Fpartial x = 1
Então, o gradiente no ponto dado é:
partial Fpartial y

Passo 5

Com o gradiente em mãos, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente em um ponto $ (x_0, y_0, z_0) $ é:
(x0, y0, z0)
Substituindo os valores que temos:
partial Fpartial x(x0, y0, z0)(x - x0) + partial Fpartial y(x0, y0, z0)(y - y0) + partial Fpartial z(x0, y0, z0)(z - z0) = 0

Passo 6

Vamos simplificar a equação do plano tangente:
(x - 1 - pi) - 2(y - 1) - 3(z - 1) = 0
Distribuindo os termos:
x - 1 - pi - 2y + 2 - 3z + 3 = 0
Combinando os termos constantes:
x - 2y - 3z + ( -1 + 2 + 3) - pi = 0
x - 2y - 3z + 4 - pi = 0
Então, a equação do plano tangente é:
x - 2y - 3z + (4 - pi) = 0

Passo 7

Agora, vamos encontrar as equações paramétricas da reta normal à superfície no ponto dado. A reta normal tem a direção do gradiente, então usamos o vetor $ \langle 1, -2, -3 \rangle $ como direção.
As equações paramétricas são:
lang<= 1, -2, -3 rang<=
Onde $ (x_0, y_0, z_0) = (1 + \pi, 1, 1) $ e $ \langle a, b, c \rangle = \langle 1, -2, -3 \rangle $.
Então:
x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t

Resposta

A equação do plano tangente é $ x - 2y - 3z + (4 - \pi) = 0 $ e as equações paramétricas da reta normal são:
x - 2y - 3z + (4 - pi) = 0

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