Calcule a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície nos pontos indicados
(d)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície definida por $ x - z = 4 \arctan(y z) $ no ponto $ (1 + \pi, 1, 1) $.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o cálculo de derivadas parciais e o uso do gradiente para determinar o plano tangente e a reta normal.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de uma forma que facilite o cálculo das derivadas parciais. Podemos escrever:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o gradiente de $ F $, que é um vetor formado pelas derivadas parciais de $ F $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $. O gradiente nos dá a direção normal à superfície no ponto dado.
Vamos calcular cada derivada:
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Derivada parcial em relação a $ x $:
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Derivada parcial em relação a $ y $:
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Derivada parcial em relação a $ z $:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores do ponto $ (1 + \pi, 1, 1) $ nas derivadas parciais para encontrar o gradiente naquele ponto.
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Para $ \frac{\partial F}{\partial x} $:
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Para $ \frac{\partial F}{\partial y} $:
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Para $ \frac{\partial F}{\partial z} $:
Então, o gradiente no ponto dado é:
Passo 5
Com o gradiente em mãos, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente em um ponto $ (x_0, y_0, z_0) $ é:
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Vamos simplificar a equação do plano tangente:
Distribuindo os termos:
Combinando os termos constantes:
Então, a equação do plano tangente é:
Passo 7
Agora, vamos encontrar as equações paramétricas da reta normal à superfície no ponto dado. A reta normal tem a direção do gradiente, então usamos o vetor $ \langle 1, -2, -3 \rangle $ como direção.
As equações paramétricas são:
Onde $ (x_0, y_0, z_0) = (1 + \pi, 1, 1) $ e $ \langle a, b, c \rangle = \langle 1, -2, -3 \rangle $.
Então:
Resposta
A equação do plano tangente é $ x - 2y - 3z + (4 - \pi) = 0 $ e as equações paramétricas da reta normal são: