Usando a definição de derivadas parciais, calcule fx(x, y) e fy(x, y)
© f(x, y)=3 xx^2+2 y

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
f(x,y)=dfrac3xx^2+2y usando a definição de derivada parcial. Vamos usar o conceito de derivada parcial, que é simplesmente a derivada de f em relação a uma variável mantendo a outra fixa, além das regras de diferenciação (regra do quociente).

Passo 2

Para achar fx(x,y), tratamos y como constante e aplicamos a regra do quociente:
fx(x,y)=(3),(x^2+2y)-3x,(2x)(x^2+2y)^2 =3x^2+6y-6x^2(x^2+2y)^2 =3(2y-x^2)(x^2+2y)^2

Passo 3

Para achar fy(x,y), tratamos x como constante. Podemos usar a regra do quociente novamente:
fy(x,y)=0cdot(x^2+2y)-3xcdot2(x^2+2y)^2 =-6x(x^2+2y)^2

Resposta

fx(x,y)=dfrac3(2y-x^2)(x^2+2y)^2, \quad fy(x,y)=-dfrac6x(x^2+2y)^2.

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