Uma função
é harmônica se
em todo domínio de
. Prove que a função
é harmônica.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
satisfaz a equação de Laplace
, isto é, é harmônica em todo ponto em que
. Vamos usar definição de derivadas parciais e as regras de cadeia e quociente.
Passo 2
Primeiro simplificamos a função e calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Note que
Aplicando a regra da cadeia para
:
De modo análogo,
Passo 3
Agora calculamos as derivadas de segunda ordem. Para
usamos a regra do quociente em
:
E para
, de forma análoga em
:
Passo 4
Somando as derivadas de segunda ordem temos
Como a soma é zero, a função satisfaz a equação de Laplace.
Passo 5
Portanto,
é harmônica em todo domínio onde
, pois $f_{xx}+f_{yy}=0.
Resposta
A função satisfaz
, logo é harmônica em todo ponto onde
.