Uma função f(x, y) é harmônica se
partial^2 fpartial x^2(x, y)+partial^2 fpartial y^2(x, y)=0
em todo domínio de f. Prove que a função f(x, y)=ln raizx^2+y^2 é harmônica.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f(x,y)=lnraizx^2+y^2 satisfaz a equação de Laplace fxx+fyy=0, isto é, é harmônica em todo ponto em que x^2+y^2>0. Vamos usar definição de derivadas parciais e as regras de cadeia e quociente.

Passo 2

Primeiro simplificamos a função e calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Note que
f(x,y)=lnraizx^2+y^2=tfrac12lnl(x^2+y^2r)
Aplicando a regra da cadeia para x:
fx=partialpartial xl(tfrac12ln(x^2+y^2)r) =tfrac12cdot2xx^2+y^2 =xx^2+y^2
De modo análogo,
fy=yx^2+y^2

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem. Para fxx usamos a regra do quociente em x/(x^2+y^2):
fxx=1cdot(x^2+y^2)-xcdot2x(x^2+y^2)^2 =y^2-x^2(x^2+y^2)^2
E para fyy, de forma análoga em y/(x^2+y^2):
fyy=(x^2+y^2)-ycdot2y(x^2+y^2)^2 =x^2-y^2(x^2+y^2)^2

Passo 4

Somando as derivadas de segunda ordem temos
fxx+fyy =y^2-x^2(x^2+y^2)^2+x^2-y^2(x^2+y^2)^2 =0
Como a soma é zero, a função satisfaz a equação de Laplace.

Passo 5

Portanto, f(x,y)=lnraizx^2+y^2 é harmônica em todo domínio onde x^2+y^2>0, pois $f_{xx}+f_{yy}=0.

Resposta

A função satisfaz fxx+fyy=0, logo é harmônica em todo ponto onde x^2+y^2>0.

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